Question

Помогите пожалуйста решить эти уравнения или хотя бы насколько из них

Answer 1

$(x^2+8x-12)^2-4x^4-4x^2-1=0$
Произведем замену: пусть $x^2+8x-12=A;\,\,\,x^2=B$, тогда имеем
$A^2-4B^2-4B-1=0 \\ A^2-(2B+1)^2=0 \\ (A-2B-1)(A+2B+1)=0$
Обратная замена
$(x^2+8x-12-2x^2-1)(x^2+8x-12+2x^2+1)=0 \\ (x^2-8x+13)(3x^2+8x-11)=0$
Осталось найти корни через дискриминант
$x^2-8x+13=0 \\ x_1_,_2=4\pm \sqrt{3} \\ 3x^2+8x-11=0 \\ x_3=1 \\ x_4=- \frac{11}{3}$

Сумма корней 1-11/3+4+√3+4-√3=9-11/3=27/3-11/3=16/3

Ответ: 16/3

$(x^2-2x+4)^2+(x-1)^2=27 \\ (x^2-2x+4)^2+(x^2-2x+1)=27$
произведем замену: Пусть $x^2-2x=t$, тогда имеем
$t^2+8t+16+t+1-27=0 \\ t^2+9t-10=0$
По т. Виета
$\left \{ {{t_1+t_2=-9} \atop {t_1\cdot t_2=-10}} \right. \to \left \{ {{x_1=-10} \atop {x_1=1}} \right.$
Возвращаемся к замене
$x^2-2x+10=0 \\ D=-36<0 \\ \\ x^2-2x-1=0 \\ D=8 \\ x_1_,_2=1\pm \sqrt{2}$

Произведение корней (1-√2)(1+√2)=1-2=-1

Ответ: -1.

$(x-4)^4-3x^2+24x-58=0$
Пусть $x^2-8x=t$
$-3t+198+t^2+32t=0 \\ t^2+29t+198=0 \\ t_1=-18 \\ t_2=-11$
Возвращаемся к замене
корень t=-18 можно не трогать потому что дискриминант отрицательный
$x^2-8x+11=0 \\ D=20 \\ x_1_,_2=4\pm \sqrt{5}$

Среднее арфиметическое - сумма корней на количество корней

$\frac{4- \sqrt{5} +4+ \sqrt{5} }{2} =4$

Ответ: 4.