Question

Какое выражение следует прибавить к многочлену 8а^6 + 12а^4, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде куба двучлена?

Answer 1

8а^6 + 12а^4 +  (6a^2 + 1)  = (2a^2 + 1)^3

Answer 2

Чтобы полученный многочлен можно было представить в виде куба двучлена, нужно добавить такое выражение, которое при сложении с исходным многочленом превратит его в полный куб некоторого другого многочлена.

Имеем исходный многочлен: \(8a^6 + 12a^4\).

Для того чтобы он стал полным кубом некоторого многочлена, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Сравним исходный многочлен \(8a^6 + 12a^4\) с этой формулой. Посмотрим, как можно его представить в виде куба двучлена.

Обратим внимание, что \(8a^6\) может быть представлено как \((2a^2)^3\) и \(12a^4\) как \(2 \cdot 2a^2 \cdot (2a^2)^2\).

Теперь мы можем переписать исходный многочлен:

\[8a^6 + 12a^4 = (2a^2)^3 + 3 \cdot 2a^2 \cdot (2a^2)^2\]

Теперь можно представить \(8a^6 + 12a^4\) в виде куба двучлена, добавив выражение \(3 \cdot 2a^2 \cdot (2a^2)^2\) к исходному многочлену:

\[8a^6 + 12a^4 + 3 \cdot 2a^2 \cdot (2a^2)^2 = (2a^2 + 2a^2)^3\]

Итак, чтобы получить многочлен, который можно представить в виде куба двучлена, нужно добавить выражение \(3 \cdot 2a^2 \cdot (2a^2)^2\), что равно \(24a^6\) к исходному многочлену \(8a^6 + 12a^4\).