Question

(x^2+6X+9)(x+5)^7(7-x)>=0

Answer 1

(x+3)²(x+5)^7*(x-7)≤0
x=-3  x=-5  x=7
           +                _                _                +
--------------[-5]-----------[-3]------------[7]-----------------
x∈[-5;7]

Answer 2

Чтобы решить неравенство \((x^2+6x+9)(x+5)^7(7-x) \geq 0\), нужно разбить его на интервалы, на которых выражение принимает разные знаки. После этого нужно найти значения \(x\), при которых выражение равно нулю, так как в этих точках знак выражения меняется.

Давайте рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. \(x^2+6x+9\) - это полный квадрат, который можно записать как \((x+3)^2\). Таким образом, этот множитель равен нулю при \(x = -3\).

2. \((x+5)^7\) - это множитель в седьмой степени. Он равен нулю при \(x = -5\).

3. \(7-x\) - этот множитель равен нулю при \(x = 7\).

Теперь разбиваем ось \(x\) на интервалы, ограниченные найденными точками:

1. \((- \infty, -5)\) 2. \((-5, -3)\) 3. \((-3, 7)\) 4. \((7, +\infty)\)

Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения на этом интервале.

1. Для интервала \((- \infty, -5)\) возьмем \(x = -6\). Подставим это значение в \((x^2+6x+9)\), \((x+5)^7\), и \(7-x\):

\(((-6)^2 + 6(-6) + 9) = 81\) - положительное, \(((-6)+5)^7 = (-1)^7 = -1\) - отрицательное, \(7 - (-6) = 13\) - положительное.

Таким образом, на этом интервале выражение положительное.

2. Для интервала \((-5, -3)\) возьмем \(x = -4\). Подставим это значение в \((x^2+6x+9)\), \((x+5)^7\), и \(7-x\):

\(((-4)^2 + 6(-4) + 9) = 1\) - положительное, \(((-4)+5)^7 = 1\) - положительное, \(7 - (-4) = 11\) - положительное.

Таким образом, на этом интервале выражение положительное.

3. Для интервала \((-3, 7)\) возьмем \(x = 0\). Подставим это значение в \((x^2+6x+9)\), \((x+5)^7\), и \(7-x\):

\((0^2 + 6(0) + 9) = 9\) - положительное, \((0+5)^7 = 5^7\) - положительное, \(7 - 0 = 7\) - положительное.

Таким образом, на этом интервале выражение положительное.

4. Для интервала \((7, +\infty)\) возьмем \(x = 8\). Подставим это значение в \((x^2+6x+9)\), \((x+5)^7\), и \(7-x\):

\((8^2 + 6(8) + 9) = 169\) - положительное, \((8+5)^7 = 13^7\) - положительное, \(7 - 8 = -1\) - отрицательное.

Таким образом, на этом интервале выражение отрицательное.

Итак, у нас есть два интервала, на которых выражение положительное: \((- \infty, -5)\) и \((-3, 7)\). Таким образом, решением неравенства является объединение этих интервалов:

\[x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 7)\]