Question

Найдите наибольшее значение функции y=2x³-15x²+24x+3 на отрезке [2;3]

Answer 1

Y ' = 6x^2 -  30x + 24 
y ' = 0 

6x^2 - 30x + 24 = 0  / :6
x^2 - 5x + 4 = 0 
(x  - 4)(x - 1) = 0 
x = 4 ∉ [ 2; 3 ] 
x = 1 ∉ [ 2; 3 ] 

y (2) = 7;
y (3) = - 6

Ответ
y наиб = y (2) = 7 

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 2x³ - 15x² + 24x + 3 на отрезке [2; 3], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого сначала найдем производную функции, а затем найдем ее критические точки и точки экстремума.

Нахождение производной функции

Для нашей функции y = 2x³ - 15x² + 24x + 3 найдем производную, чтобы найти точки экстремума. Производная функции y по x будет равна: y' = 6x² - 30x + 24

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение y' = 0: 6x² - 30x + 24 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Решив его, мы найдем две критические точки.

Нахождение точек экстремума

После нахождения критических точек, мы можем использовать вторую производную для определения типа точек экстремума. Вторая производная функции y будет равна: y'' = 12x - 30

Вычислим вторую производную в найденных критических точках и определим их типы.

Расчет значений функции

Теперь найдем значения функции y на концах отрезка [2; 3] и в найденных критических точках, чтобы определить наибольшее значение функции на этом отрезке.

Более подробно и с расчетами, наши следующие шаги выглядят так:

1. Найдем производную функции y по x: y' = 6x² - 30x + 24

2. Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0: 6x² - 30x + 24 = 0

3. Решим уравнение и найдем две критические точки: x₁ = 1 x₂ = 4

4. Вычислим вторую производную функции y: y'' = 12x - 30

5. Вычислим значение второй производной в найденных критических точках: y''(1) = -18 y''(4) = 18

6. Вычислим значения функции y на концах отрезка [2; 3] и в критических точках: y(2) = 2(2)³ - 15(2)² + 24(2) + 3 = 9 y(3) = 2(3)³ - 15(3)² + 24(3) + 3 = 33 y(1) = 2(1)³ - 15(1)² + 24(1) + 3 = 14 y(4) = 2(4)³ - 15(4)² + 24(4) + 3 = 83

7. Определим наибольшее значение функции на отрезке [2; 3]: Максимальное значение функции равно 83 и достигается в точке x = 4.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 2x³ - 15x² + 24x + 3 на отрезке [2; 3] равно 83 и достигается при x = 4.