Question

Решить тригонометрическое уравнение sin(x) - cos(2x) = 2

Answer 1

Sinx-cos2x=2
sinx-(1-2sin^2x)=2
sinx-1+2sin^2x=2
2sin^2x+sinx-3=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
2t^2+t-3=0
D=1+24=25
t1=(-1-5)/4=-6/4 постор. корень, т.к |t|<0
t2=(-1+5)/4=1
Вернёмся к замене
sinx=1
x=Π/2+2Πn, n€Z
Ответ: Π/2+2Πn, n€Z.

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения sin(x) - cos(2x) = 2, мы будем использовать тригонометрические тождества и замены. Давайте пошагово разберемся:

1. Вначале заменим cos(2x) на выражение известное через sin(x) с помощью тригонометрической формулы: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Теперь уравнение примет вид: sin(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 2.

2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: sin(x) - 1 + 2sin^2(x) = 2.

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону: 2sin^2(x) + sin(x) - 3 = 0.

4. Это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью обычных методов решения квадратных уравнений.

Исходное уравнение: 2sin^2(x) + sin(x) - 3 = 0.

5. Для удобства давайте введем новую переменную t = sin(x). Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + t - 3 = 0.

6. Решаем это квадратное уравнение с помощью метода дискриминантов или факторизации. Мы используем дискриминант.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 25. D > 0, значит у уравнения есть два корня.

7. Найдем корни уравнения с помощью формулы: t = (-b ± sqrt(D)) / (2a).

t1 = (-1 + sqrt(25)) / (2*2) = (1 + sqrt(25)) / 4. t2 = (-1 - sqrt(25)) / (2*2) = (1 - sqrt(25)) / 4.

8. Вернемся к исходным переменным: x = arcsin(t).

Таким образом, решением уравнения sin(x) - cos(2x) = 2 являются значения x, которые соответствуют arcsin((1 + sqrt(25)) / 4) и arcsin((1 - sqrt(25)) / 4). В зависимости от требований задачи, нужно учесть, что значения arcsin(x) определены в диапазоне от -pi/2 до pi/2, поэтому решения могут быть ограничены этим интервалом.