Question

На плоскости из одной точки отложено 27 лучей. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать пары этих лучей?

Answer 1

Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые между собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
$a_n = a_{n-1} +2n -3$, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:
 
$a_{9} = 12 + 2*9 - 3 =27 \\ \\ a_{12} = 27 + 2*12 - 3 =48 \\ \\ a_{15} = 48 + 2*15 - 3 =75 \\ \\ a_{18} = 75 + 2*18 - 3 =108 \\ \\ a_{21} = 108 + 2*21 - 3 =147 \\ \\ a_{24} = 147 + 2*24 - 3 =192 \\ \\ a_{27} = 192 + 2*27 - 3 =243$

Итак, ответ найден. Для 27 лучей возможно максимум 243 тупых угла.
Так считать долго, можно увидеть формулу для прямого расчёта:

$a_n = \frac{n^2}{3}$
По этой формуле можно считать для любого количества лучей, кратное трём.

Answer 2

На плоскости из одной точки можно отложить 27 лучей. Чтобы найти наибольшее количество тупых углов, которые могут образовывать пары этих лучей, нужно знать, какие углы могут быть тупыми.

Угол считается тупым, если его мера больше 90 градусов и меньше 180 градусов. Таким образом, чтобы найти количество тупых углов, нужно посчитать количество пар лучей, которые образуют углы с мерой больше 90 градусов и меньше 180 градусов.

Для расчета количества пар лучей, образующих тупые углы, можно использовать комбинаторику. Количество комбинаций из 27 лучей по 2 можно вычислить по формуле сочетания:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где n - количество объектов (в данном случае лучей), k - количество объектов в каждой комбинации (в данном случае 2), ! - знак факториала.

Таким образом, количество пар лучей, образующих тупые углы, будет равно:

C(27, 2) = 27! / (2!(27-2)!) = 27! / (2!25!) = (27 * 26) / (2 * 1) = 351

Таким образом, наибольшее количество тупых углов, которые могут образовывать пары этих лучей, равно 351.