Question

Cos x<=-1/2 sinx>=1/2 tg x<=1 ctg >=-1

Answer 1

Cosx≤ -1/2 ;
2πk+ π - π/3 ≤ x  ≤ π + π/3 + 2πk ;
2πk+ 2π/3 ≤ x  ≤ 4π/3 + 2πk . 
-----------------------------------------------
sinx ≥1/2 ;
2πk+ π/6  ≤ x  ≤ π - π/6 + 2πk ;
2πk+ π/6  ≤ x  ≤ 5π/6 + 2πk .
-----------------------------------------------
tqx ≤ 1 ;
πk  - π/2 ≤ x ≤ π/4 + πk .
-----------------------------------------------
ctqx ≥ -1 ;
πk  +0 ≤ x ≤ π-π/4 + πk ;
πk   ≤ x ≤ 3π/4 + πk.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство:

\[ \cos(x) \leq -\frac{1}{2}, \quad \sin(x) \geq \frac{1}{2}, \quad \tan(x) \leq 1, \quad \cot(x) \geq -1. \]

1. Для первого неравенства \( \cos(x) \leq -\frac{1}{2} \), решением будет множество всех углов, у которых косинус меньше или равен \(-\frac{1}{2}\). Такие углы находятся в третьем и четвертом квадрантах. Следовательно, ответ для этого неравенства: \( x \in [2k\pi + \frac{2\pi}{3}, 2k\pi + \frac{4\pi}{3}], \ k \in \mathbb{Z} \).

2. Для второго неравенства \( \sin(x) \geq \frac{1}{2} \), решением будет множество всех углов, у которых синус больше или равен \(\frac{1}{2}\). Такие углы находятся в первом и втором квадрантах. Следовательно, ответ для этого неравенства: \( x \in [2k\pi + \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{5\pi}{6}], \ k \in \mathbb{Z} \).

3. Для третьего неравенства \( \tan(x) \leq 1 \), решением будет множество всех углов, у которых тангенс меньше или равен 1. Такие углы находятся в первом и третьем квадрантах. Следовательно, ответ для этого неравенства: \( x \in [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{4}], \ k \in \mathbb{Z} \).

4. Для четвертого неравенства \( \cot(x) \geq -1 \), решением будет множество всех углов, у которых котангенс больше или равен -1. Такие углы находятся в первом и четвертом квадрантах. Следовательно, ответ для этого неравенства: \( x \in [k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}], \ k \in \mathbb{Z} \).

Таким образом, чтобы удовлетворять всем четырем неравенствам, нужно выбирать значения \( x \), которые соответствуют пересечению областей, определенных каждым из четырех неравенств.