Question

Нужно упростить (tg альфа+ctg альфа)(1+cos альфа)(1-cos альфа)

Answer 1

используя основные тригонометрические соотношения и формулу разности квадратов

(tg альфа+ctg альфа)(1+cos альфа)(1-cos альфа)=

= (sin альфа/cos альфа+cos альфа/sin альфа)((1-cos^2 альфа)=

=(sin^2 альфа+cos^2 альфа)/(cos альфа*sin альфа) *sin^2 альфа=

=1*tg альфа=tg альфа

Answer 2

Для упрощения выражения (tg α ctg α) (1 + cos α) (1 - cos α), мы можем использовать тригонометрические тождества.

1. Тождество тангенса и котангенса: tg α ctg α = 1.

2. Тождество разности косинусов: 1 - cos α = sin^2 α.

3. Тождество суммы и разности косинусов: 1 + cos α = 2 cos^2 (α/2).

Используя эти тождества, мы можем переписать выражение следующим образом:

(tg α ctg α) (1 + cos α) (1 - cos α) = 1 * (1 + cos α) * sin^2 α

Далее, мы можем раскрыть скобки:

1 * (1 + cos α) * sin^2 α = sin^2 α + sin^2 α cos α

Теперь, мы можем упростить выражение, используя еще одно тригонометрическое тождество:

Тождество синуса: sin^2 α = 1 - cos^2 α.

Заменяем sin^2 α в выражении:

1 - cos^2 α + (1 - cos^2 α) cos α = 1 - cos^2 α + cos α - cos^3 α

Теперь, мы можем объединить подобные члены:

1 - cos^2 α + cos α - cos^3 α = 1 + cos α - cos^2 α - cos^3 α

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для (tg α ctg α) (1 + cos α) (1 - cos α):

1 + cos α - cos^2 α - cos^3 α