Question

Решите с помощью замены переменной уравнения (x^2-2x)^2-9=0 (x^2-2x)^2+2(x^2-2x)-15=0 3x^2+1-2(корень из 3x^2+1)=0

Answer 1

1) (x² - 2x)² - 9 = 0
Пусть а = х² - 2х.
а² - 9 = 0
(а - 3)(а + 3) = 0
а = 3
а = -3
Обратная замена:
х² - 2х = 3
х² - 2х = -3

х² - 2х - 3 = 0
х² - 2х + 3 = 0

Для первого уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
х1•х2 = -3

х1 = 3; х2 = -1

Для второго уравнения:
D = 2² - 3•4 = 4 - 12 = -8 =. нет корней.
Ответ: х = -1; 3.

2) (х² - 2х)² + 2(х² - 2х) - 15 = 0
Пусть b = x² - 2x.
b² + 2b - 15 = 0
По обратной теореме Виета:
b1 + b2 = -2
b1•b2 = -15

b1 = -5; b2 = 3.
Обратная замена:
x² - 2x = -5
x² - 2x = 3

x² - 2x + 5 = 0
x² - 2x - 3 = 0

Для первого уравнения:
D = 2² - 5•4 = 4 - 20 = -16 => нет корней.

Для второго уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
x1•x2 = -3
x1 = -1; x2 = 3.

Ответ: х = -1; 3.

3) 3x² + 1 - 2√(3x² + 1) = 0
Пусть c = √(3x² + 1).
c² - 2c = 0
c² = 2c
c = 0
c = 2
Обратная замена:
√(3x² + 1) = 0
√(3x² + 1) = 2

3x² + 1 = 0
3x² + 1 = 4

3x² = -1
3x² = 3

Первое уравнение не имеет действительных корней.
3x² = 3
x² = 1
x = ±1.

Ответ: х = -1; 1.

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся заменой переменной.

Пусть u = x^2 - 2x. Тогда первое уравнение примет вид u^2 - 9 = 0. Это уравнение является квадратным относительно переменной u. Решим его:

u^2 - 9 = 0 (u - 3)(u + 3) = 0 u - 3 = 0 или u + 3 = 0 u = 3 или u = -3

Теперь найдем значения переменной x. С учетом нашей замены, получаем:

1) u = 3: x^2 - 2x = 3 x^2 - 2x - 3 = 0

Это также квадратное уравнение, решим его:

(x - 3)(x + 1) = 0 x - 3 = 0 или x + 1 = 0 x = 3 или x = -1

2) u = -3: x^2 - 2x = -3 x^2 - 2x + 3 = 0

x^2 - 2x + 3 является также квадратным уравнением. Решим его:

Дискриминант D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

Итак, решениями первого уравнения являются x = 3 и x = -1.

Теперь решим второе уравнение, используя замену переменной. Пусть t = √(3x^2 + 1). Тогда уравнение примет вид:

3x^2 + 1 - 2t = 0

Теперь найдем значения переменной t:

3x^2 + 1 - 2t = 0 2t = 3x^2 + 1 t = (3x^2 + 1)/2

Заменим x в уравнении на t:

(t^2 - 2) + 2(t^2 - 2) - 15 = 0 3t^2 - 14 = 0

Таким образом, получили квадратное уравнение:

3t^2 - 14 = 0 t^2 = 14/3 t = ±√(14/3)

Теперь найдем значения переменной x:

1) t = √(14/3): √(3x^2 + 1) = √(14/3) 3x^2 + 1 = 14/3 9x^2 = 14 - 3/3 9x^2 = 41/3 x^2 = 41/27 x = ±√(41/27)

2) t = -√(14/3): √(3x^2 + 1) = -√(14/3)

Знак минус перед корнем означает, что у уравнения нет действительных корней.

Итак, решениями второго уравнения являются x = ±√(41/27).

Таким образом, решениями исходной системы уравнений являются: x = 3, x = -1, x = √(41/27) и x = -√(41/27).