Question

Даю 100 баллов.Найти первообразные функции: a)y=4x^3-2x+7 b)y=1-3cosx+2/x

Answer 1

А) F(x) = x^4-x^2+7x + C
б) F(x) = x-3sin(x)+2ln(x) + C

Answer 2

A)y=4x³-2x+7, ∫(4x³-2x+7)dx=4xˇ4/4-2x²/2+7x=xˇ4-x²+7x +C
b)y=1-3cosx+2/x, ∫(1-3cosx+2/x)dx=x-3sinx+2lnx+c

(∫cosxdx=sinx+c, ∫dx/x=lnx)

Answer 3

Первообразные функции

Первообразная функция, также известная как антипроизводная, является обратной операцией дифференцирования. Если у нас есть функция и мы хотим найти ее первообразную, мы ищем функцию, производная которой равна исходной функции.

a) y = 4x^3 - 2x + 7

Для нахождения первообразной этой функции, мы должны найти функцию, производная которой равна y.

Для каждого члена в исходной функции мы будем использовать правила дифференцирования в обратном порядке.

Производная от константы равна нулю, поэтому константа 7 исчезнет в первообразной функции.

Производная x^n равна nx^(n-1), поэтому производная 4x^3 будет равна 12x^2.

Производная от -2x равна -2, поэтому -2x исчезнет в первообразной функции.

Таким образом, первообразная функции y = 4x^3 - 2x + 7 будет:

F(x) = x^4 - x^2 + 7x + C

где C - произвольная постоянная.

b) y = 1 - 3cos(x) + 2/x

Для нахождения первообразной этой функции, мы снова будем использовать правила дифференцирования в обратном порядке.

Производная константы равна нулю, поэтому константа 1 исчезнет в первообразной функции.

Производная cos(x) равна -sin(x), поэтому производная -3cos(x) будет равна 3sin(x).

Производная от ln(x) равна 1/x, поэтому производная 2/x будет равна 2ln(x).

Таким образом, первообразная функции y = 1 - 3cos(x) + 2/x будет:

F(x) = x + 3sin(x) + 2ln(x) + C

где C - произвольная постоянная.

Итак, мы нашли первообразные функции для обоих заданных уравнений.