Question

Известно, что некоторое число при делении на 7 даёт остаток 4, а при делении на 5 - остаток 2. Какой остаток получится при делении этого числа на 35 ?

Answer 1

Возьмём число 32.
32 : 7 = 4 (остаток 4)
32 : 5 = 6 (остаток 2)
32 : 35 = 0 (остаток 32)
Ответ: остаток 32 получится при делении числа 32 на 35.
------------------------------------------------------

Answer 2

При делении на 7 возможные остатки: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; (всего 7 вариантов)
число, кратное 5, оканчивается цифрами 0 или 5,
число, дающее при делении на 5 остаток 2, оканчивается на 2 или на 7, 
т.е. х = А + 2   или   х = В + 7; А,В∈Z 
этого вида числа при делении на 7 могут дать остатки:
  2:7 (остаток 2)              7:7 (остаток 0)
12:7 (остаток 5)            17:7 (остаток 3)
22:7 (остаток 1)            27:7 (остаток 6)
32:7 (остаток 4)           37:7 (остаток 2)
42:7 (остаток 0)            47:7 (остаток 5)
52:7 (остаток 3)            57:7 (остаток 1)
62:7 (остаток 6)            67:7 (остаток 4)
далее история повторяется...
осталось рассмотреть только два варианта:
32; 102; 172; 242...(3+7n)*10+2... при делении на 35 дают остаток 32 
30+70n+2 = 70n+32 = 35*2n+32
67; 137; 207; 277...(6+7n)*10+7... при делении на 35 дают остаток 32 
60+70n+7 = 70n+67 = 35*2n+35+32 = 35*(2n+1) + 32

Answer 3

Давайте обозначим неизвестное число буквой \( x \). Известно, что:

1. При делении на 7 остаток равен 4: \( x \mod 7 = 4 \). 2. При делении на 5 остаток равен 2: \( x \mod 5 = 2 \).

Теперь мы можем использовать эти условия, чтобы найти значение \( x \). Для этого давайте рассмотрим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x \mod 7 = 4 \\ x \mod 5 = 2 \end{cases} \]

Найдем решение этой системы уравнений. Сначала рассмотрим первое уравнение \( x \mod 7 = 4 \). Это означает, что \( x \) может быть представлено в виде \( x = 7a + 4 \), где \( a \) - это целое число.

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение \( x \mod 5 = 2 \):

\[ (7a + 4) \mod 5 = 2 \]

Упростим это уравнение. \( 7a \) делится на 5 нацело, поэтому его можно опустить:

\[ 4 \mod 5 = 2 \]

Теперь мы видим, что уравнение выполняется, так как \( 4 \mod 5 = 4 \) и \( 4 \) равно \( 2 \mod 5 \).

Таким образом, число \( x \), удовлетворяющее условиям, будет иметь вид \( x = 7a + 4 \), где \( a \) - целое число. Теперь мы можем найти остаток при делении \( x \) на 35:

\[ x \mod 35 = (7a + 4) \mod 35 \]

Упростим это уравнение:

\[ (7a + 4) \mod 35 = (7a \mod 35 + 4 \mod 35) = (0 + 4) \mod 35 = 4 \]

Таким образом, остаток при делении неизвестного числа \( x \) на 35 равен 4.