Question

100 баллов, задание для АСов математики! Решить уравнение: а)X^4+2X^3-X^2+2X+1=0 б) (X-1)*X(X+1)(X+2)=24 в) (X+1)(X+2)(X+3)(X+4)=3

Answer 1

А) X^4+2X^3-X^2+2X+1=0
Разделим уравнение на х^2:
(x^2+1/x^2)+2(x+1/x)-1=0
(x+1/x)^2-2+2(x+1/x)-1=0
(x+1/x)^2+2(x+1/x)-3=0
Делаем замену t=x+1/x
t^2+2t-3=0
По т. Виета t1=-3, t2=1
x+1/x=-3, т.е. x^2+3x+1=0, x1=(-3+√5)/2, x2=(-3-√5)/2,
x+1/x=1, т.е. x^2-x+1=0, D<0. действительны корней нет
Ответ: x1=(-3+√5)/2, x2=(-3-√5)/2,

б) (X-1)*X(X+1)(X+2)=24
Перемножим первый множитель и последний, а также второй и третий:
(x^2+2x-x-2)(x^2+x)=24
(x^2+x-2)(x^2+x)=24
Замена t=x^2+x-1. Тогда
(t-1)(t+1)=24
t^2=25
t1=5 , t2=-5
x^2+x-1=5
x^2+x-6=0
x1=-3, x2=2

x^2+x-1=-5
x^2+x+4=0
D<0 действительных корней нет
Ответ: x1=-3, x2=2

в) (X+1)(X+2)(X+3)(X+4)=3
Перемножим первый множитель и последний, а также второй и третий:
(x^2+4x+x+4)(x^2+2x+3x+6)=3
(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=3
Замена t=x^2+5x+5. Тогда
(t-1)(t+1)=3
t^2=4
t1=2 , t2=-2
x^2+5x+5=2
x^2+5x+3=0
x1=(-5+√13)/2, x2=(-5-√13)/2

x^2+5x+5=-2
x^2+5x+7=0
D=25-28<0 действительных корней нет
Ответ: x1=(-5+√13)/2, x2=(-5-√13)/2

Answer 2

а) Перепишем уравнение в виде: x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом подбора корней или графическим методом.

Попробуем подобрать целочисленные корни уравнения. Подставим значение x = 0: 0^4 + 2*0^3 - 0^2 + 2*0 + 1 = 1 Получили, что при x = 0 уравнение не выполняется.

Далее, попробуем подставить x = 1: 1^4 + 2*1^3 - 1^2 + 2*1 + 1 = 4 + 2 - 1 + 2 + 1 = 8 Получили, что при x = 1 уравнение не выполняется.

Продолжая этот процесс, попробуем подставить x = -1: (-1)^4 + 2*(-1)^3 - (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 1 - 2 - 1 - 2 + 1 = -3 Получили, что при x = -1 уравнение также не выполняется.

Попробуем подставить x = 2: 2^4 + 2*2^3 - 2^2 + 2*2 + 1 = 16 + 16 - 4 + 4 + 1 = 33 Также получили, что при x = 2 уравнение не выполняется.

Продолжая подбор, попробуем подставить x = -2: (-2)^4 + 2*(-2)^3 - (-2)^2 + 2*(-2) + 1 = 16 - 16 - 4 - 4 + 1 = -7 Уравнение при x = -2 снова не выполняется.

По результатам подбора, можем сделать вывод, что в данном уравнении нет целочисленных корней.

б) Решим уравнение следующим образом: (x-1)*x(x+1)(x+2) = 24

Раскроем скобки: (x^2 - x)(x^2 + 2) = 24

Распишем уравнение в виде: x^4 + 2x^2 - x^3 - 2x = 24

Придвинем все слагаемые в одну сторону и получим: x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x - 24 = 0

Применим метод подбора корней. Подставляем целочисленные значения и проверяем уравнение:

При x = 0: 0^4 - 0^3 + 2*0^2 - 2*0 - 24 = -24 - нет корней.

При x = 1: 1^4 - 1^3 + 2*1^2 - 2*1 - 24 = -23 - нет корней.

При x = -1: (-1)^4 - (-1)^3 + 2*(-1)^2 - 2*(-1) - 24 = -23 - нет корней.

При x = 2: 2^4 - 2^3 + 2*2^2 - 2*2 - 24 = 0 - корень уравнения.

Таким образом, корнем уравнения является x = 2.

в) Решим уравнение следующим образом: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3

Раскроем скобки: (x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = 3

Распишем уравнение в виде: x^4 + 10x^3 + 29x^2 + 42x + 24 = 3

Перенесем все слагаемые в одну сторону и получим: x^4 + 10x^3 + 29x^2 + 42x + 24 - 3 = 0

x^4 + 10x^3 + 29x^2 + 42x + 21 = 0

Применим метод подбора корней. Подставляем целочисленные значения и проверяем уравнение:

При x = 0: 0^4 + 10*0^3 + 29*0^2 + 42*0 + 21 = 21 - нет корней.

При x = 1: 1^4 + 10*1^3 + 29*1^2 + 42*1 + 21 = 103 - нет корней.

При x = -1: (-1)^4 + 10*(-1)^3 + 29*(-1)^2 + 42*(-1) + 21 = 3 - корень уравнения.

Таким образом, корнем уравнения является x = -1.