Question

Найти производную функции y=(x+1)(x+2)(x+3)

Answer 1

y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+2)(x+3)

(uv)' =u'v+v'u

y ' =(2x+3)(x+3)+(x^2+3x+2)*1=(2x^2+9x+9)+(x^2+3x+2)=3x^2+12x+11

Answer 2

y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+2)(x+3)

(uv)' =u'v+v'u

y ' =(2x+3)(x+3)+(x^2+3x+2)умножить на 1 = (2x^2+9x+9)+(x^2+3x+2)=3x^2+12x+11

Answer 3

Чтобы найти производную функции \(y=(x+1)(x+2)(x+3)\), воспользуемся правилом производной произведения. Правило это гласит, что производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй, плюс произведение второй функции на производную первой.

Пусть \(u(x) = (x+1)\), \(v(x) = (x+2)(x+3)\). Тогда функция \(y\) может быть представлена в виде \(y = u \cdot v\).

Производная произведения функций:

\[ (y)' = u'v + uv' \]

Теперь найдем производные компонентов:

1. Производная первой функции \(u(x) = (x+1)\): \[ u' = 1 \]

2. Производная второй функции \(v(x) = (x+2)(x+3)\) потребует применения правила производной произведения (также известного как правило дифференцирования произведения):

\[ v' = (x+2)'(x+3) + (x+2)(x+3)' \]

Вычислим производные: \[ v' = 1 \cdot (x+3) + (x+2) \cdot 1 = x + 3 + x + 2 = 2x + 5 \]

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

\[ (y)' = u'v + uv' = 1 \cdot (x+2)(x+3) + (x+1) \cdot (2x+5) \]

Спростим выражение:

\[ (y)' = (x+2)(x+3) + (x+1)(2x+5) \]

Раскроем скобки:

\[ (y)' = x^2 + 3x + 2x + 6 + 2x + 5x + 5 \]

Сгруппируем по степеням \(x\):

\[ (y)' = x^2 + (3+2+2)x + (6+5) \]

Упростим:

\[ (y)' = x^2 + 7x + 11 \]

Итак, производная функции \(y=(x+1)(x+2)(x+3)\) равна \(x^2 + 7x + 11\).