Question

Докажите, что выражение х²-4х+9 при любых значениях х принимает положительное значение

Answer 1

Дано выражение х²-4х+9.
Если х - это переменная величина, то заданное выражение - уравнение параболы ветвями вверх: у = х²-4х+9.
Находим вершину параболы:
Хо = -в/2а = 4/(2*1) = 2.
Уо = 2² - 4*2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5.
То есть, все точки параболы находятся выше оси Ох, где все значения положительны.

Answer 2

X^2-4x+9=(x^2-2*2+2^2)-2^2+9=(x-2)^2+5.
Т.к. Квадрат числа всегда положительный, а число после скобок положительное и больше нуля, то и значение всегда будет больше нуля, т.е. положительное.

Answer 3

Чтобы доказать, что выражение \(x^2 - 4x + 9\) принимает положительное значение при любых значениях \(x\), давайте воспользуемся методом завершения квадрата. Исходное выражение может быть записано в виде:

\[ x^2 - 4x + 9 \]

Теперь давайте попробуем завершить квадрат. Для этого добавим и вычтем половину коэффициента при \(x\), возведенную в квадрат:

\[ x^2 - 4x + 4 - 4 + 9 \]

Объединим первые три члена:

\[ (x - 2)^2 - 4 + 9 \]

Теперь у нас есть выражение \((x - 2)^2 + 5\). Так как квадрат любного числа неотрицательный, то \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно. Прибавление 5 к неотрицательному числу также дает неотрицательное значение. Таким образом, \((x - 2)^2 + 5\) всегда положительно.

Таким образом, мы доказали, что выражение \(x^2 - 4x + 9\) при любых значениях \(x\) принимает положительное значение.