Question

Определите сколько решений имеет система уравнений и дайте геометрическое объяснение выводу. x+y=4 x-y=2

Answer 1

1) х+у=4
у=-х+4 - убывает
2)х-у=2
у=х-2 - взрастает 
Значит система имеет 1 решение 
Рисунок во вложении ( это геометрическое объяснение)

Answer 2

Представим данную систему уравнений в виде матрицы:

A = 1 1 1 -1

и вектора-столбца свободных членов:

B = 4 2

Тогда можно записать расширенную матрицу системы:

[A|B] = 1 1 | 4 1 -1 | 2

Для определения количества решений системы уравнений необходимо проанализировать ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы [A|B]. Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы [A|B], то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы А меньше ранга [A|B], то система не имеет решений. Если ранг матрицы А равен количеству неизвестных (в данном случае, 2), а ранг расширенной матрицы [A|B] меньше количества неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

Теперь найдем ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований:

1) Вычтем из второй строки первую строку:

A' = 1 1 0 -2

Ранг матрицы А' равен 2, так как в ней есть два ненулевых линейно независимых элемента.

Теперь найдем ранг расширенной матрицы [A|B] с помощью элементарных преобразований:

1) Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 2:

[A|B]' = 1 1 | 4 0 -2 | 2

Ранг матрицы [A|B]' равен 2, так как в ней есть два ненулевых линейно независимых элемента.

Таким образом, ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы [A|B], и они равны количеству неизвестных (2). Это означает, что система имеет единственное решение.

Геометрическое объяснение данному выводу заключается в том, что уравнения системы задают две прямые на плоскости. В данном случае, первое уравнение x + y = 4 задает прямую, проходящую через точки (0,4) и (4,0), а второе уравнение x - y = 2 задает прямую, проходящую через точки (1,3) и (3,1). Математический анализ показывает, что эти две прямые пересекаются в единственной точке (3,1), которая является решением системы уравнений.