Question

Найти все целые числа x и y, удовлетворяющие равенству 25x+46y=1.

Answer 1

Подберём частное решение.
25x = 1 - 46y
$x = \frac{1 - 46y}{25}$
y =  -19; x = 35
значит
25 * 35 - 46 * (-19) = 1
Вычтем одно уравнение из другого
25 * 35 - 25 + 46 * (-19) - 46y = 1
25 (35 - x) + 46 (-19 - y) = 0
25 (35 - x) = -46 (-19 - y)
т.к. 25 и -46 взаимно простые, 35 - x = -46n, -19 - y = 25n
Ответ:
x = 46n + 35, n ∈ ℤ
y = -25n - 19, n ∈ℤ

Answer 2

Для того, чтобы найти все целые числа x и y, удовлетворяющие равенству 25x + 46y = 1, нужно сначала найти одно частное решение этого уравнения, а затем использовать формулу для общего решения. Для этого можно воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида, который позволяет находить наибольший общий делитель двух чисел и представлять его в виде их линейной комбинации. Применим этот алгоритм к числам 25 и 46:

46 = 25 * 1 + 21

25 = 21 * 1 + 4

21 = 4 * 5 + 1

4 = 1 * 4 + 0

Последний ненулевой остаток 1 является НОД чисел 25 и 46. Теперь выразим его через 25 и 46, поднимаясь по цепочке делений:

1 = 21 - 4 * 5

1 = 21 - (25 - 21) * 5

1 = 21 * 6 - 25 * 5

1 = (46 - 25) * 6 - 25 * 5

1 = 46 * 6 - 25 * 11

Отсюда видно, что одно частное решение уравнения 25x + 46y = 1 это x = -11, y = 6. Тогда общее решение можно получить, прибавляя к x кратные 46, а вычитая из y кратные 25. То есть, если x0 и y0 - частное решение, то общее решение имеет вид:

x = x0 + 46t

y = y0 - 25t

где t - любое целое число. В нашем случае:

x = -11 + 46t

y = 6 - 25t

Это и есть ответ на вопрос. Для более подробного объяснения этого метода можно посмотреть [кафедру теории чисел](http://new.math.msu.su/department/number/dw/doku.php?id=ent) или [онлайн-ответы](https://uchi.ru/otvety/questions/nayti-vse-tselye-chisla-x-i-y-udovletvoryayuschie-ravenstvu-25x-46y-1) .