Question

Довести тотожність cos⁡〖π/19+cos⁡〖3π/19+cos⁡〖5π/19+⋯+cos⁡〖17π/19=1/2〗 〗 〗 〗

Answer 1

В силу формулы $\displaystyle\cos\alpha \sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$ верна цепочка равенств:
$\displaystyle \cos\frac{\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{19}$,
$\displaystyle \cos\frac{3\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{4\pi}{19}-\sin\frac{2\pi}{19}\right)$,
$\displaystyle \cos\frac{5\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{6\pi}{19}-\sin\frac{4\pi}{19}\right)$,
                    ................................

$\displaystyle \cos\frac{15\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{16\pi}{19}-\sin\frac{14\pi}{19}\right)$,
$\displaystyle \cos\frac{17\pi}{19}\sin \frac{\pi}{19}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{18\pi}{19}-\sin\frac{16\pi}{19}\right)$.
Сложим почленно эти равенства. В левой части получается
$\displaystyle \left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\ldots+\cos\frac{15\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}\right)\sin \frac{\pi}{19}$, а в правой все слагаемые сокращаются, кроме $\displaystyle\sin \frac{18\pi}{19}=\sin \frac{\pi}{19},$ которое сокращается с таким же множителем в левой части. Отсюда
$\displaystyle\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\ldots+\cos\frac{15\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}=\frac{1}{2}$.

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой суммы тригонометрической прогрессии.

Сумма тригонометрической прогрессии вида a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1), где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии и n - количество членов, равна

S = a * (1 - r^n) / (1 - r).

В данной задаче имеется прогрессия с первым членом cos⁡(π/19), знаменателем cos⁡(2π/19) и количеством членов 10.

Тогда сумма данной прогрессии будет равна

S = cos⁡(π/19) * (1 - cos⁡(2π/19)^10) / (1 - cos⁡(2π/19)).

Но нам дано, что требуется доказать, что сумма данной прогрессии равна 1/2. То есть,

cos⁡(π/19) * (1 - cos⁡(2π/19)^10) / (1 - cos⁡(2π/19)) = 1/2.

Мы можем привести данное выражение к общему знаменателю, раскрыв квадрат иррационального числа и применив формулы приведения тригонометрических функций. Решение этого уравнения выходит за рамки возможностей данного алгоритма.