Question

Помогите пожалуйста! Объясните мне как это решить! 25^(log125 8) Не пойму, как связать 25 и 125под лог

Answer 1

25^log(125)8 = 25^log(5^3)8 = 5^2*1/3log(5)8 = 5 ^log(5)8*2/3 = 8^2/3 = 4

Answer 2

Для того чтобы решить выражение \(25^{\log_{125} 8}\), начнем с того, что преобразуем основания степени так, чтобы они были одинаковыми.

Начнем с того, что \(125 = 5^3\), а \(25 = 5^2\). Теперь мы можем заметить, что \(25 = (5^3)^{2/3}\), так как \(5^3 = 125\).

Имеем: \[25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 8}\]

Теперь воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\).

Поэтому \(\log_{5^3} 8 = \frac{\log_5 8}{\log_5 5^3} = \frac{\log_5 8}{3 \cdot \log_5 5}\).

Так как \(\log_5 5 = 1\), то \(\frac{\log_5 8}{3 \cdot \log_5 5} = \frac{\log_5 8}{3}\).

Итак, \(25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\frac{\log_5 8}{3}} = 5^{\frac{2 \cdot \log_5 8}{3}}\).

Теперь можно заметить, что \(8 = 2^3\), а \(\log_5 8\) - это степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 8. Следовательно, \(\log_5 8 = \log_5 2^3 = 3 \cdot \log_5 2\).

Подставим это обратно в наше выражение: \[5^{\frac{2 \cdot \log_5 8}{3}} = 5^{\frac{2 \cdot (3 \cdot \log_5 2)}{3}} = 5^{2 \cdot \log_5 2} = (5^{\log_5 2})^2 = 2^2 = 4\]

Таким образом, \(25^{\log_{125} 8} = 4\).