Question

Дана функция f(x)=x^3+6x^2-15x-22 [-2;2] Помогите найти критические точки и max/min функции

Answer 1

Берем первую производную и находим критические точки, с учетом ограничения х=1
Далее исследуем функцию на отрезке по интервалам, как она растет и выбираем точки изгиба функции или концы отрезка

Answer 2

Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\):

\[f'(x) = 3x^2 + 12x - 15.\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[3x^2 + 12x - 15 = 0.\]

Решим это уравнение. Сначала разделим уравнение на 3:

\[x^2 + 4x - 5 = 0.\]

Теперь факторизуем это уравнение:

\[(x + 5)(x - 1) = 0.\]

Отсюда получаем два корня: \(x = -5\) и \(x = 1\). Это и будут наши критические точки.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, нужно проанализировать знаки второй производной функции \(f''(x)\). Возьмем вторую производную:

\[f''(x) = 6x + 12.\]

Теперь подставим значения критических точек:

\[f''(-5) = 6(-5) + 12 = -18 < 0,\] \[f''(1) = 6(1) + 12 = 18 > 0.\]

Таким образом, при \(x = -5\) у нас будет максимум, а при \(x = 1\) - минимум.

Итак, у функции \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\) есть две критические точки: \((-5, f(-5))\) - максимум, и \((1, f(1))\) - минимум.