Question

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член составляет одну четвертую часть от суммы всех остальных. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если известно, что третий член равен 9.

Answer 1

B3=9
b1=S/4
S=4b1
S=b1/(1-q)
b1
----- = 4b1
1–q
1
----- = 4
1–q

1–q = 1/4
q=-3/4

b3=b1*q^2
b1=b3/q^2=9/ 9/16= 16
Ответ: b1=16, q=-3/4

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Так как третий член прогрессии равен 9, то по определению геометрической прогрессии выполняется следующее равенство:

a * q^2 = 9 (1)

Также, по условию задачи, первый член составляет одну четвертую часть от суммы всех остальных членов прогрессии. Пусть сумма всех остальных членов прогрессии равна S. Тогда сумма всей прогрессии будет равна (S + a), и можно записать следующее равенство:

a = S/4 (2)

Так как это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма всех членов прогрессии будет равна:

S = a + a*q + a*q^2 + a*q^3 + ...

Заметим, что это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом a и знаменателем q^2. Используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записать следующее выражение:

S = a / (1 - q)

Подставим это значение S в уравнение (2):

a = (a / (1 - q))/4

Раскроем скобки и упростим:

1 - q = 4

Отсюда получаем:

q = -3

Подставим значение q в уравнение (1):

a * (-3)^2 = 9

a * 9 = 9

a = 1

Таким образом, первый член прогрессии равен 1, а знаменатель прогрессии равен -3.