Question

Помогите решить производные

Answer 1

********************************************************

Answer 2

$y= \cfrac{\sin x}{\cos x} \\\ y'= \cfrac{(\sin x)'\cdot\cos x-\sin x\cdot(\cos x)'}{\cos^2x} = \\\ = \cfrac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x} = \cfrac{\cos^2 x+\sin ^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x}$

$y=\sin( \frac{ 5\pi }{3} x) \\\ y'=\cos( \frac{ 5\pi }{3} x)\cdot( \frac{ 5\pi }{3} x)'= \frac{ 5\pi }{3}\cos( \frac{ 5\pi }{3} x)$

$y= \sqrt{x} - \frac{3}{x}+ \frac{9}{x^2}=x^ \frac{1}{2} - 3x^{-1}+9x^{-2} \\\ y'= \frac{1}{2}x^ {\frac{1}{2}-1}-(- 3x^{-1-1})+9\cdot(-2x^{-2-1})= \\\ =\frac{1}{2}x^ {-\frac{1}{2}}+ 3x^{-2}-18x^{-3}= \frac{1}{2 \sqrt{x} } + \frac{3}{x^2} - \frac{18}{x^3}$

$y= \cfrac{x^2+4}{x^2-4} \\\ y= \cfrac{(x^2+4)'(x^2-4)-(x^2+4)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}= \cfrac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4)^2}= \\\ =\cfrac{2x(x^2-4-x^2-4)}{(x^2-4)^2}=\cfrac{2x\cdot(-8)}{(x^2-4)^2}=- \cfrac{16x}{(x^2-4)^2}$

$y= \cfrac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} +1} \\\ y'= \cfrac{( \sqrt{x} )'(\sqrt{x} +1)- \sqrt{x} (\sqrt{x} +1)'}{( \sqrt{x} +1)^2} = \cfrac{ \frac{1}{2 \sqrt{x} }(\sqrt{x} +1)- \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} }}{( \sqrt{x} +1)^2} = \\\ = \cfrac{ \frac{1}{2 \sqrt{x} }(\sqrt{x} +1- \sqrt{x} ) }{( \sqrt{x} +1)^2} = \cfrac{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{( \sqrt{x} +1)^2} = \cfrac{1}{2 \sqrt{x}( \sqrt{x} +1)^2}$

Answer 3

Производная функции - это показатель скорости изменения функции. Он позволяет найти наклон касательной к графику функции в каждой точке. Для решения задачи на нахождение производной необходимо использовать правила дифференцирования.

В общем случае, производная функции f(x) находится с помощью формулы:

f'(x) = lim(h->0) (f(x + h) - f(x))/h

где f'(x) - производная функции f(x).

Существуют также правила дифференцирования, упрощающие процесс нахождения производной для различных классов функций. Некоторые из них:

1) Правило суммы: Если f(x) и g(x) - две функции, а c - константа, то (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) и (cf)'(x) = c * f'(x).

2) Правило произведения: Если f(x) и g(x) - две функции, то (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

3) Правило частного: Если f(x) и g(x) - две функции, то (f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x))/g^2(x), при условии, что g(x) ≠ 0.

4) Правило составной функции: Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

Также существуют таблицы производных элементарных функций, в которых указаны производные основных функций, таких как степенная функция, экспоненциальная функция, логарифмическая функция и тригонометрические функции.

Процесс нахождения производной может быть сложным и требует практики, но с помощью правил дифференцирования и таблиц элементарных производных можно решить большинство задач по нахождению производной.