Question

Sin^2a x ctga + cos^2a x tga + 1 =(sina+cosa)^2

Answer 1

По формулам приведения, не судьба подставить ? 

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

\[ \sin^2(a) + x \cdot \cot(a) + \cos^2(a) + x \cdot \tan(a) + 1 = (\sin(a) + \cos(a))^2 \]

Для упрощения уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Сначала преобразуем левую часть уравнения:

\[ \begin{align*} & \sin^2(a) + x \cdot \cot(a) + \cos^2(a) + x \cdot \tan(a) + 1 \\ & = \sin^2(a) + \cos^2(a) + x \cdot \cot(a) + x \cdot \tan(a) + 1 \quad \text{(тождество }\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\text{)} \\ & = 1 + x \cdot \frac{\cos(a)}{\sin(a)} + x \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)} + 1 \quad \text{(тангенс и котангенс в терминах синуса и косинуса)} \\ & = 2 + x \cdot \left(\frac{\cos(a)}{\sin(a)} + \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right) \\ & = 2 + x \cdot \frac{\cos^2(a) + \sin^2(a)}{\sin(a) \cdot \cos(a)} \quad \text{(приведение к общему знаменателю)} \\ & = 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} \quad \text{(тождество }\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\text{)} \end{align*} \]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = (\sin(a) + \cos(a))^2 \]

Далее, раскроем квадрат справа:

\[ (\sin(a) + \cos(a))^2 = \sin^2(a) + 2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) + \cos^2(a) \]

Теперь приравниваем полученное выражение к левой части уравнения:

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = \sin^2(a) + 2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) + \cos^2(a) \]

Выражение \(\sin^2(a) + \cos^2(a)\) снова заменяем на 1:

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = 1 + 2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) \]

Теперь выразим \(\sin(a) \cdot \cos(a)\) через тангенс:

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = 1 + 2 \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\cos(a)}{\sin(a)} \]

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = 1 + 2 \cdot \frac{\sin(a)}{\sin(a)} = 1 + 2 \]

\[ 2 + x \cdot \frac{1}{\sin(a) \cdot \cos(a)} = 3 \]

Теперь избавимся от дроби, умножив обе стороны на \(\sin(a) \cdot \cos(a)\):

\[ 2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) + x = 3 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) \]

Теперь можно выразить x:

\[ x = 3 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) - 2 \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) \]

\[ x = \sin(a) \cdot \cos(a) \]

Таким образом, при данных условиях уравнение преобразуется в \(x = \sin(a) \cdot \cos(a)\).