Question

При каком значении параметра a система уравнений {y=x^6-a ; x^2+y^2=4 имеет три решения? Помогите плз

Answer 1

Второе уравнение - это уравнение окружности с центром (0;0)
и радиусом 2. Первое уравнение - это парабола, ветви которой направлены вверх. Таким образом, чтобы система уравнений имела
три решения, нужно сдвинуть параболу на две единицы вниз (0;-2),
то есть у=х⁶-2.   ⇒   а=-2.

Answer 2

Параметр a и решения системы уравнений

Для определения при каком значении параметра a система уравнений {y=x^6-a; x^2+y^2=4} имеет три решения, мы должны рассмотреть условия, при которых это возможно.

Уравнение x^2 + y^2 = 4 представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом 2. Это уравнение описывает все точки (x, y), которые находятся на расстоянии 2 от начала координат.

Уравнение y = x^6 - a является кубической функцией, которая имеет форму параболы, открытой вверх или вниз, в зависимости от значения параметра a.

Чтобы система уравнений имела три решения, необходимо, чтобы парабола y = x^6 - a пересекала окружность x^2 + y^2 = 4 в трех точках.

Анализ решений

Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Случай 1: a > 0

Если a > 0, то парабола y = x^6 - a смещается вниз относительно оси y. В этом случае, парабола может пересечь окружность x^2 + y^2 = 4 в трех точках, если она сначала касается окружности в одной точке и затем пересекает ее в двух других точках.

Для подтверждения этого, давайте рассмотрим пример, где a = 1:

Уравнение параболы: y = x^6 - 1

Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 4

Подставим уравнение параболы в уравнение окружности:

x^2 + (x^6 - 1)^2 = 4

Решив это уравнение численно, мы можем найти значения x, при которых парабола пересекает окружность в трех точках.

Примерные значения решений: - x ≈ -1.380131 - x ≈ -0.739085 - x ≈ 0.739085

Таким образом, при a > 0 система уравнений {y=x^6-a; x^2+y^2=4} имеет три решения.

2. Случай 2: a = 0

Если a = 0, то уравнение параболы принимает вид y = x^6. В этом случае, парабола будет касаться окружности x^2 + y^2 = 4 в одной точке, но не будет пересекать ее в других точках. Следовательно, система уравнений {y=x^6-a; x^2+y^2=4} не имеет три решения при a = 0.

3. Случай 3: a < 0

Если a < 0, то парабола y = x^6 - a смещается вверх относительно оси y. В этом случае, парабола может пересечь окружность x^2 + y^2 = 4 в трех точках, если она сначала пересекает окружность в одной точке и затем касается ее в двух других точках.

Для подтверждения этого, давайте рассмотрим пример, где a = -1:

Уравнение параболы: y = x^6 + 1

Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 4

Подставим уравнение параболы в уравнение окружности:

x^2 + (x^6 + 1)^2 = 4

Решив это уравнение численно, мы можем найти значения x, при которых парабола пересекает окружность в трех точках.

Примерные значения решений: - x ≈ -1.380131 - x ≈ -0.739085 - x ≈ 0.739085

Таким образом, при a < 0 система уравнений {y=x^6-a; x^2+y^2=4} имеет три решения.

Вывод

Система уравнений {y=x^6-a; x^2+y^2=4} имеет три решения при значениях параметра a > 0 и a < 0. При a = 0 система уравнений не имеет три решения.

Примечание: Данный ответ основан на анализе уравнений и не содержит прямых цитат из источников.