Question

Решить способом интервалов примеры: (x+10)(x-1)>0; (x-2)(x-8)<0; x(x+13)>0;

Answer 1

1.(-∞;-10)∪(1;∞)
2.(2;8)
3.(-∞;-13)∪(0;∞)

Answer 2

Решение неравенств с использованием метода интервалов основано на анализе знаков выражения в каждом интервале между корнями уравнения. Давайте рассмотрим каждый пример по очереди:

1. \( (x + 10)(x - 1) > 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x + 10)(x - 1) = 0 \): - \( x + 10 = 0 \) --> \( x = -10 \) - \( x - 1 = 0 \) --> \( x = 1 \)

Теперь построим интервалы между корнями и выберем тестовую точку в каждом интервале: - Интервал 1: \((- \infty, -10)\) - возьмем \(x = -11\) - Интервал 2: \((-10, 1)\) - возьмем \(x = 0\) - Интервал 3: \((1, +\infty)\) - возьмем \(x = 2\)

Подставим тестовые точки в исходное уравнение: - Интервал 1: \((-11 + 10)(-11 - 1) > 0\) --> \((-1)(-12) > 0\) --> \(12 > 0\) - верно - Интервал 2: \((0 + 10)(0 - 1) > 0\) --> \((10)(-1) < 0\) --> \(-10 < 0\) - верно - Интервал 3: \((2 + 10)(2 - 1) > 0\) --> \((12)(1) > 0\) --> \(12 > 0\) - верно

Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty, -10) \cup (1, +\infty)\).

2. \( (x - 2)(x - 8) < 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x - 2)(x - 8) = 0 \): - \( x - 2 = 0 \) --> \( x = 2 \) - \( x - 8 = 0 \) --> \( x = 8 \)

Построим интервалы и выберем тестовые точки: - Интервал 1: \((- \infty, 2)\) - возьмем \(x = 1\) - Интервал 2: \((2, 8)\) - возьмем \(x = 5\) - Интервал 3: \((8, +\infty)\) - возьмем \(x = 9\)

Подставим тестовые точки: - Интервал 1: \((1 - 2)(1 - 8) < 0\) --> \((-1)(-7) < 0\) --> \(7 < 0\) - неверно - Интервал 2: \((5 - 2)(5 - 8) < 0\) --> \((3)(-3) < 0\) --> \(-9 < 0\) - верно - Интервал 3: \((9 - 2)(9 - 8) < 0\) --> \((7)(1) < 0\) --> \(7 < 0\) - неверно

Таким образом, решение неравенства: \(x \in (2, 8)\).

3. \( x(x + 13) > 0 \)

Уравнение уже второй степени, и его корни: - \( x = 0 \) - \( x + 13 = 0 \) --> \( x = -13 \)

Построим интервалы и выберем тестовые точки: - Интервал 1: \((- \infty, -13)\) - возьмем \(x = -14\) - Интервал 2: \((-13, 0)\) - возьмем \(x = -1\) - Интервал 3: \((0, +\infty)\) - возьмем \(x = 1\)

Подставим тестовые точки: - Интервал 1: \((-14)(-14 + 13) > 0\) --> \((14)(-1) > 0\) --> \(-14 > 0\) - неверно - Интервал 2: \((-1)(-1 + 13) > 0\) --> \((1)(12) > 0\) --> \(12 > 0\) - верно - Интервал 3: \((1)(1 + 13) > 0\) --> \((1)(14) > 0\) --> \(14 > 0\) - верно

Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-13, 0) \cup (0, +\infty)\).