Question

Чему равен интеграл dx/1+x^2.

Answer 1

Есть табличный интеграл
$\int\limits { \frac{dx}{ x^{2} + a^{2} } } \, dx = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} +C,a \neq 0$

Поэтому
$\int\limits { \frac{dx}{ x^{2} + 1} } } \, dx = arctg x +C$

Answer 2

Интеграл функции dx/(1+x^2) можно найти с помощью метода замены переменной. Для этого введем новую переменную:

u = 1 + x^2

Тогда:

du = 2x dx

dx = du / (2x)

Подставим это выражение в интеграл:

∫ dx / (1+x^2) = ∫ du / (2x * u)

Далее, можно разложить дробь на простые дроби:

1 / (2x * u) = A / x + B / u

где A и B - некоторые константы, которые нужно найти.

Умножим обе части уравнения на 2xu:

1 = A * u + B * x

Подставим u = 1 + x^2:

1 = A * (1 + x^2) + B * x

Раскроем скобки:

1 = A + A * x^2 + B * x

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

A = 0 A + B = 1

Отсюда находим A = 0 и B = 1.

Теперь вернемся к интегралу:

∫ dx / (1+x^2) = ∫ (0/x) dx + ∫ (1/u) du

Первое слагаемое равно нулю, так как A = 0.

∫ dx / (1+x^2) = ∫ (1/u) du

Интегрируем:

∫ dx / (1+x^2) = ln |u| + C

Заменяем обратно u = 1 + x^2:

∫ dx / (1+x^2) = ln |1 + x^2| + C

Таким образом, интеграл dx / (1+x^2) равен ln |1 + x^2| + C, где C - произвольная постоянная.