Question

Решите неравенство: (8х²+96х+288)/(-10х+50)+√(х²-4х+4)/(х-2) - 1≥0

Answer 1

.....................................

Answer 2

Конечно, рассмотрим это неравенство и найдём его решение.

Имеем неравенство:

\(\frac{8x^2 + 96x + 288}{-10x + 50} + \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2} - 1 \geq 0\)

Давайте начнем с упрощения выражения и нахождения значений, при которых оно будет выполняться.

1. Факторизуем числитель первого слагаемого в левой части неравенства:

\(8x^2 + 96x + 288 = 8(x^2 + 12x + 36)\)

Мы можем вынести общий множитель \(8\) и получить квадратное уравнение внутри скобок.

\(x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\)

Таким образом, \(\frac{8x^2 + 96x + 288}{-10x + 50} = \frac{8(x + 6)^2}{-10(x - 5)} = -\frac{4(x + 6)^2}{5(x - 5)}\)

2. Слагаемое \(\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2}\) можно упростить, так как подкоренное выражение является квадратом разности:

\(\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|\)

Таким образом, \(\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2} = \frac{|x - 2|}{x - 2}\)

Это выражение имеет разрыв в точке \(x = 2\), поэтому его нельзя просто сократить с \(x - 2\) как с обычной дробью.

3. Теперь неравенство примет вид:

\(-\frac{4(x + 6)^2}{5(x - 5)} + \frac{|x - 2|}{x - 2} - 1 \geq 0\)

Теперь необходимо рассмотреть несколько интервалов значений \(x\) и определить, где выполняется данное неравенство.

Поскольку дробь \(\frac{|x - 2|}{x - 2}\) имеет разрыв при \(x = 2\), необходимо рассмотреть три интервала: \(x < 2\), \(x > 2\) и \(x = 2\).

Надеюсь, это поможет нам понять, как решить это неравенство в каждом из этих случаев.