Question

Пожалуйста помогитеРешите неравенства методом интервалов:1) (x+5)^2(x+3)(x-3)<02) (x^2-4)(x-1)^2>0

Answer 1

1) (x+5)^2 *(x+3)(x-3) < 0;
x =- 5;  x = - 3;  x = 3.
х = 5 - корень четной(второй) степени, при переходе через него знак неравенства не меняется, На прямой отметим эти 3 точки, причем все точки выколем, т.к неравенство строгое.
x+5≠ 0;⇒ x ≠ -5 
       +              +              -                 +
______(-5)_____(-3)_______(3)_____x
 Ответ х∈(- 3; 3).

2) (x^2 - 4)(x-1)^2 > 0;
(x-2)(x+2)(x - 1)^2 >0;
x = -2; x = 2; x = 1.
x-1≠0;  x ≠ 1.
  +                -            -                   +
____(-2)_____(-1)_______(2)______x
Ответ х∈(- беск-сть; -2) ∨ (2; + беск-сть)

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по очереди с использованием метода интервалов.

1) \( (x + 5)^2(x + 3)(x - 3) < 0 \)

Сначала найдем корни этого уравнения:

\((x + 5)^2 = 0\) при \(x = -5\)

\((x + 3) = 0\) при \(x = -3\)

\((x - 3) = 0\) при \(x = 3\)

Теперь создадим интервалы на числовой прямой, используя найденные корни:

\[ \begin{array}{cccccccc} -\infty & \quad -5 & \quad -3 & \quad 3 & \quad \infty \\ \end{array} \]

Выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения \((x + 5)^2(x + 3)(x - 3)\) в каждом интервале:

- Для интервала \((- \infty, -5)\) выберем \(x = -6\), тогда \(((-1)^2)(-3)(-9) < 0\) (знак "<"). - Для интервала \((-5, -3)\) выберем \(x = -4\), тогда \((1)(-1)(-7) > 0\) (знак ">"). - Для интервала \((-3, 3)\) выберем \(x = 0\), тогда \((25)(3)(-9) < 0\) (знак "<"). - Для интервала \((3, \infty)\) выберем \(x = 4\), тогда \((81)(7)(1) > 0\) (знак ">").

Таким образом, решение неравенства - это объединение интервалов, где выражение меньше нуля:

\[ x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 3) \]

2) \( (x^2 - 4)(x - 1)^2 > 0 \)

Сначала найдем корни этого уравнения:

\((x^2 - 4) = 0\) при \(x = -2, 2\)

\((x - 1) = 0\) при \(x = 1\)

Теперь создадим интервалы на числовой прямой, используя найденные корни:

\[ \begin{array}{cccccccc} -\infty & \quad -2 & \quad 1 & \quad 2 & \quad \infty \\ \end{array} \]

Выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения \((x^2 - 4)(x - 1)^2\) в каждом интервале:

- Для интервала \((- \infty, -2)\) выберем \(x = -3\), тогда \((5)(16) > 0\) (знак ">"). - Для интервала \((-2, 1)\) выберем \(x = 0\), тогда \((-4)(1)^2 < 0\) (знак "<"). - Для интервала \((1, 2)\) выберем \(x = 1.5\), тогда \((0)(0.25) > 0\) (знак ">"). - Для интервала \((2, \infty)\) выберем \(x = 3\), тогда \((5)(4) > 0\) (знак ">").

Таким образом, решение неравенства - это объединение интервалов, где выражение больше нуля:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2) \]