Question

решите уравнение 2sin2x= 4cosx - sinx + 1

Answer 1

$2sin2x= 4cosx - sinx + 1;\\ 2sin2x-4cosx+sinx-1=0;\\ 2*2sinxcos x-4cosx+sinx-1=0;\\ 4sinxcos x-4cosx+sinx-1=0;\\ (4sinxcos x-4cosx)+(sinx-1)=0;\\ 4cos x(sin x-1)+1*(sin x-1)=0;\\ (4cos x+1)(sin x-1)=0;$

произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0

отсюда

либо $4cos x+1=0;\\ cos x=-\frac{1}{4};\\ x=^+_-(arccos (-\frac{1}{4}))+2*\pi*k;\\ x=^+_-(\pi -arccos (\frac{1}{4}))+2*\pi*k;$

k є Z

либо $sinx-1=0; sin x=1; x=\frac{\pi}{2}+2*\pi*n;$ n є Z

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ 2\sin^2x = 4\cos x - \sin x + 1 \]

Для удобства преобразуем его, используя тригонометрические тождества:

\[ 2(1 - \cos^2x) = 4\cos x - \sin x + 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - 2\cos^2x = 4\cos x - \sin x + 1 \]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[ 2\cos^2x + 4\cos x - \sin x - 3 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\[ 2\cos^2x + 4\cos x - \sin x - 3 = 0 \]

Решим это уравнение. Для удобства обозначим \( \cos x \) как \( t \):

\[ 2t^2 + 4t - \sin x - 3 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \( t \). Решим его с использованием квадратного уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = -\sin x - 3 \).

\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-\sin x - 3)}}{2(2)} \]

\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8\sin x + 24}}{4} \]

\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{40 + 8\sin x}}{4} \]

\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{10 + 2\sin x}}{2} \]

\[ t = -1 \pm \sqrt{\frac{10}{2} + \frac{2\sin x}{2}} \]

\[ t = -1 \pm \sqrt{5 + \sin x} \]

Таким образом, у нас есть два решения для \( \cos x \):

1. \( \cos x = -1 + \sqrt{5 + \sin x} \) 2. \( \cos x = -1 - \sqrt{5 + \sin x} \)

Далее, используя тригонометрическую связь \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), мы можем определить значения для \( \sin x \).

Надеюсь, это помогает! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.