Question

Sin^2 x/2 - cos^2 x/2 = cos2x решить

Answer 1

-(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) = cos(2x)
-cos(2x) - cos(2x) = 0
-2cos(2x) = 0
cos(2x) = 0
2x = π/2 + πk
x = π/4 + πk/2

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

\[ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(2x) \]

Для удобства, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Используем тождество \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\).

Теперь подставим \(\theta = \frac{x}{2}\) в данное тождество:

\[ \cos(2\left(\frac{x}{2}\right)) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \]

Упростим выражение:

\[ \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\[ 1 - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперь приведем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[ 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\). Решим его, например, с помощью формулы дискриминанта:

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x) + 4}}{4} \]

Таким образом, получаем два решения для \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\):

1. \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x) + \sqrt{\cos^2(x) + 4}}{4}\) 2. \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x) - \sqrt{\cos^2(x) + 4}}{4}\)

Это решение можно упростить, используя тригонометрические тождества, и получить выражение для \(x\).