Question

Решите уравнение:sin2x*cos4x=sin6x*cos8x

Answer 1

1/2sin(-2x)+1/2sin6x-1/2sin(-2x)-1/2sin14x=0
1/2(sin6x-sin14x)=0
1/2*2sin(-4x)cos10x=0
-sin4xcos10x=0
sin4x=0⇒4x=πn⇒x=πn/4
cos10x=0⇒10x=π/2+πn⇒x=π/20+πn/10

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, а именно формулу двойного угла для синуса и косинуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)

Также, мы можем использовать формулу для произведения синусов:

sin(a)sin(b) = (cos(a-b) - cos(a+b))/2

Применим эти формулы для данного уравнения:

2sin(x)cos(x)cos(4x) = (cos(2x - 6x) - cos(2x + 6x))/2cos(8x) 2sin(x)cos(x)cos(4x) = (cos(-4x) - cos(8x))/2cos(8x) 2sin(x)cos(x)cos(4x) = (cos(8x) - cos(8x))/2cos(8x) 2sin(x)cos(x)cos(4x) = 0

Теперь, решим каждый из трех множителей равенства отдельно:

1) sin(x) = 0 Решение: x = 0 + kπ, где k - целое число.

2) cos(x) = 0 Решение: x = (π/2) + kπ, где k - целое число.

3) cos(4x) = 0 Решение: 4x = (π/2) + kπ, где k - целое число. x = (π/8) + (kπ/4), где k - целое число.

Таким образом, решениями данного уравнения являются следующие значения x:

x = 0 + kπ, где k - целое число. x = (π/2) + kπ, где k - целое число. x = (π/8) + (kπ/4), где k - целое число.

Это все возможные значения x, при которых уравнение sin(2x)cos(4x) = sin(6x)cos(8x) выполняется.