Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(если они существуют)на данном промежуткеа)f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,{1;3}b)f(x)=2/x+x^2,{1/2;1}

Answer 1

$1)y=18x^2+8x^3-3x^4\\y'=36x+24x^2-12x^3\\x(x^2-2x-3)=0\\x(x-3)(x+1)=0\\x=0 \ ||x=3 \ ||x=-1\\y(3)=18\cdot9+8\cdot27-3\cdot81=135=y_{max}\\y(1)=18+8-3=23=y_{min}\\\\2)y=\frac{2}x+x^2\\y'=-\frac{2}{x^2}+2x\\2x^3-2=0\\x^3=1\\x=1\\y(\frac{1}2)=4+\frac{1}4=\frac{17}4=y_{max}\\y(1)=2+1=3=y_{min}$

Answer 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций на заданных промежутках, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри заданного промежутка. 2. Вычислить значения функции в этих критических точках, а также на концах заданного промежутка. 3. Сравнить полученные значения функции и определить наибольшее и наименьшее из них.

Теперь давайте применим эти шаги для каждой из функций.

a) Функция f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4, [1, 3]

1. Нахождение критических точек функции

Чтобы найти критические точки функции, необходимо найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует.

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 36x + 24x^2 - 12x^3

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

36x + 24x^2 - 12x^3 = 0

Затем решим полученное уравнение численно или графически, чтобы найти критические точки внутри заданного промежутка [1, 3].

2. Вычисление значений функции в критических точках и на концах промежутка

После нахождения критических точек, необходимо вычислить значения функции f(x) в этих точках и на концах заданного промежутка [1, 3].

Вычислим значения функции f(x) в найденных критических точках и на концах промежутка:

- Вычислим f(1), f(3), а также значения функции во всех найденных критических точках.

3. Определение наибольшего и наименьшего значений функции

После вычисления значений функции в критических точках и на концах промежутка, сравним эти значения и определим наибольшее и наименьшее из них.

Выберем наибольшее и наименьшее значение функции из всех найденных значений.

b) Функция f(x) = 2/x + x^2, [1/2, 1]

Повторим те же самые шаги для функции f(x) = 2/x + x^2 на заданном промежутке [1/2, 1].

1. Нахождение критических точек функции

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = -2/x^2 + 2x

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

-2/x^2 + 2x = 0

Затем решим полученное уравнение численно или графически, чтобы найти критические точки внутри заданного промежутка [1/2, 1].

2. Вычисление значений функции в критических точках и на концах промежутка

Вычислим значения функции f(x) в найденных критических точках и на концах промежутка:

- Вычислим f(1/2), f(1), а также значения функции во всех найденных критических точках.

3. Определение наибольшего и наименьшего значений функции

После вычисления значений функции в критических точках и на концах промежутка, сравним эти значения и определим наибольшее и наименьшее из них.

Выберем наибольшее и наименьшее значение функции из всех найденных значений.

Надеюсь, это поможет вам найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных промежутках. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.