Question

Решить Тригонометрическое неравенство: Sinx+Sin2x=Cosx+2Cos^2x Спасибо заранее!

Answer 1

Это ^(2) квадрат? Если да, тогда вот так:
sinx+sin2x=cosx+2cos^(2)x
sinx+2cosxsinx=cosx+2cos^(2)x
sinx(1+2cosx)=cosx(1+2cosx)
sinx=cosx
sinx/cosx=cosx/cosx
tgx=1
x=pi/4+piN, N принадлежит Z.

Answer 2

Давайте рассмотрим тригонометрическое неравенство и попробуем его решить:

\[ \sin(x) \cdot \sin(2x) = \cos(x) + 2\cos^2(x) \]

Для начала, приведем все тригонометрические функции к одному виду. Заметим, что \(\sin(2x)\) можно выразить через \(\cos(x)\) при помощи тригонометрической формулы:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ \sin(x) \cdot (2 \sin(x) \cos(x)) = \cos(x) + 2\cos^2(x) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 \sin^2(x) \cos(x) = \cos(x) + 2\cos^2(x) \]

Теперь приведем все члены к одной стороне уравнения:

\[ 2 \sin^2(x) \cos(x) - \cos(x) - 2\cos^2(x) = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ \cos(x)(2 \sin^2(x) - 1 - 2\cos(x)) = 0 \]

Теперь мы имеем два уравнения, которые могут быть равны нулю:

1. \(\cos(x) = 0\) 2. \(2 \sin^2(x) - 1 - 2\cos(x) = 0\)

Давайте решим каждое из них по отдельности.

Уравнение 1: \(\cos(x) = 0\)

Это уравнение имеет решение при \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Уравнение 2: \(2 \sin^2(x) - 1 - 2\cos(x) = 0\)

Преобразуем это уравнение:

\[ 2 \sin^2(x) - 1 - 2(1 - \sin^2(x)) = 0 \]

\[ 2 \sin^2(x) - 1 - 2 + 4\sin^2(x) = 0 \]

\[ 6\sin^2(x) - 3 = 0 \]

\[ 2\sin^2(x) - 1 = 0 \]

Это уравнение имеет решение при \(\sin(x) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\). Такие углы \(x\) соответствуют \(x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, общее решение данного тригонометрического неравенства:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \]

где \(k\) - целое число.