Question

Log 1/2 (x - 4 / x +1) > 2

Answer 1

ОДЗ:
$\frac{x - 4}{ x +1} \ \textgreater \ 0$
x∈(-∞;-1)∪(4;+∞)

Решение:
$\log_{ \frac{1}{2} } \frac{x-4}{x+1} \ \textgreater \ \log_{ \frac{1}{2} } ( \frac{1}{2}) ^{2}$
т.к. основание 1/2<1, то знак неравенства меняется
$\frac{x-4}{x+1} \ \textless \ ( \frac{1}{2}) ^{2}$
$\frac{x-4}{x+1} \ \textless \ \frac{1}{4}$
$\frac{4x-16}{x+1} \ \textless \ 1$
$\frac{4x-16}{x+1} - 1 \ \textless \ 0$
$\frac{4x-16}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} \ \textless \ 0$
$\frac{4x-16-x-1}{x+1} \ \textless \ 0$
$\frac{3x-17}{x+1} \ \textless \ 0$
x∈$(-1; \frac{17}{3} )$
Наложим ОДЗ на решение:
х∈(4; $\frac{17}{3}$)

Ответ:(4; $\frac{17}{3}$)

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-4}{x+1}\right) > 2 \).

1. Избавление от логарифма: \[ \frac{x-4}{x+1} > \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

2. Упрощение: \[ \frac{x-4}{x+1} > \frac{1}{4} \]

3. Умножение обеих сторон на знаменатель: \[ 4(x-4) > (x+1) \]

4. Раскрытие скобок: \[ 4x - 16 > x + 1 \]

5. Перенос переменных: \[ 3x > 17 \]

6. Деление обеих сторон на 3 (при этом учитываем, что 3 - положительное число, поэтому знак неравенства не меняется): \[ x > \frac{17}{3} \]

Итак, решением исходного логарифмического неравенства является \( x \) принадлежит интервалу \( \left(\frac{17}{3}, +\infty\right) \).