Question

Исследовать функцю и построить ее график: x³-3x²+7

Answer 1

$y=x^3-3x^2+7$

1. Функция многочлен, а значит область определения функции вся вещественная ось.

2. Многочлены будут четными, если содержат только четные степени переменной и наоборот нечетными при нечетных степенях. в нашем случае функция является ни четноой, ни нечетной. Функция непериодическая.

3. Функция не имеет асимптот.

4. Поскольку функция имеет степень 3, то ее график не имеет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.

5. найдем пересечение с осью Оу для этого найдем значене у при х=0

$0^3-3*0^2+7=7$

и пересечение с осью Ох для этого решим уравнение $x^3-3x^2+7=0$

$q=\frac{a^2-3b}{9}=\frac{((-3)^2-3*0)}{9}=1$

$p=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}=\frac{2*(-3)^3-9*(-3)*0+27*7}{54}=2.5$

получаем каноническое уравнение

$y^3+2.5y+1=0$

найдем Q 

$Q=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2=(\frac{2.5}{3})^3+(\frac{1}{2})^2=0.579+0.25=0.829$

так как Q>0, то по методу Кардано уравнение имеет один действительный корень

$x_1=\alpha+\beta$

$\alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{0.829}}$

$\beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\sqrt{0.829}}$

$x_1=-1.279$

6. производная функции будет $y'=3x^2-6x$

найдем интервалы возрастания и убывания

решим неравенство $3x^2-6x\geq0$

решим квадртное уравнение

дискриминант будет равен 36 

$x_1=2$$x_2=0$

следовательно на интервалах ]-∞;0] и [2;+∞[  функция возрастает, а между ними функция убывает

и в итоге строим график

 

Answer 2

Конечно, давай разберем функцию \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 \).

Исследование функции:

1. Нахождение производной:

Для начала найдем производную функции \( f(x) \) по \( x \), чтобы определить ее поведение:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 7) \]

Производная функции \( f(x) \) равна \( f'(x) = 3x^2 - 6x \).

2. Точки экстремума:

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \):

\[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ или } x = 2 \]

Теперь выясним характер точек:

- Подставим значения \( x \) во вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (x^3 - 3x^2 + 7) = 6x - 6 \]

- При \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Это означает, что в точке \( x = 0 \) функция имеет максимум.

- При \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \] Это означает, что в точке \( x = 2 \) функция имеет минимум.

3. Поведение функции вне экстремумов:

Чтобы понять общее поведение функции вне точек экстремума, можно рассмотреть ее значение при больших и маленьких значениях \( x \).

- При \( x \to +\infty \): \[ \lim_{{x \to +\infty}} (x^3 - 3x^2 + 7) = +\infty \] Функция растет до бесконечности при положительных \( x \).

- При \( x \to -\infty \): \[ \lim_{{x \to -\infty}} (x^3 - 3x^2 + 7) = -\infty \] Функция убывает до бесконечности при отрицательных \( x \).

Построение графика:

Давай построим график функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 \), учитывая полученные данные:

- У функции есть максимум в точке \( x = 0 \) и минимум в точке \( x = 2 \). - Она растет до бесконечности при \( x \to +\infty \) и убывает до бесконечности при \( x \to -\infty \).


Этот график показывает общую форму функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 \) с ее максимумом, минимумом и поведением на бесконечности.