Question

Помогите, пожалуйста, с тригонометрией 1) 2sinx+3cosx=6 2) 4-sin2x=cos^2x+2 Только максимально подробно, пожалуйста

Answer 1

1) Уравнения такого сорта решаются введением новой функции. Нужны формулы  Sinx = 2tgx/2 /(1 + tg²x/2)
                  Cosx = (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2)
После использования этих формул получим уравнение с одним неизвестным.
4 tgx/2 /(1 + tg²x/2) + 3 (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2) = 6 | * (1 + tg²x/2) ≠ 0
4tg x/2 +3(1 - tg²x/2) = 6(1 + tg²x/2) 
4tg x/2 +3 - 3 tg²x/2  = 6 + 6 tg²x/2
9 tg²x/2 - 4tgx/2 +3 = 0
Это уравнение не имеет решения, т.к. D < 0
2)  4-Sin2x=cos^2x+2
В уравнении нужно а) сделать один и тот же угол, б) сделать одно название функции.
4 - 2SinxCosx = Cos²x +2
Cos²x + 2SinxCosx -2= 0
Cos²x +2SinxCosx -2*1 = 0
Cos²x + 2SinxCosx -2(Sin²x + Cos²x) = 0
Cos²x + 2SinxCosx -2Sin²x -2Cos²x = 0
2SinxCosx -2Sin²x - Cos²x = 0 | : Cos²x ≠ 0
2tg x - 2tg²x -1 = 0
2tg²x -2tgx +1 = 0
Это квадратное уравнение не имеет решения, т.к. D < 0

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1) \(2\sin(x) + 3\cos(x) = 6\)

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться тригонометрическим тождеством:

\[a\sin(x) + b\cos(x) = R\sin(x + \phi)\]

где \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(\tan(\phi) = \frac{b}{a}\).

Сравним это с нашим уравнением \(2\sin(x) + 3\cos(x) = 6\):

\[a = 2, \quad b = 3, \quad R = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}, \quad \tan(\phi) = \frac{3}{2}\]

Теперь мы можем представить левую часть уравнения в виде суммы синусов:

\[2\sin(x) + 3\cos(x) = \sqrt{13} \sin\left(x + \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\right)\]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[\sqrt{13} \sin\left(x + \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\right) = 6\]

Теперь мы можем найти \(x\):

\[x + \arctan\left(\frac{3}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)\]

\[x = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right) - \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\]

2) \(4 - \sin^2(x) = \cos^2(x) + 2\)

Сначала заметим, что \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) (тригонометрическое тождество).

Теперь подставим это тождество в уравнение:

\[4 - \sin^2(x) = (1 - \sin^2(x)) + 2\]

Упростим:

\[4 - \sin^2(x) = 3 - \sin^2(x)\]

Теперь выразим \(\sin(x)\):

\[\sin^2(x) = 1\]

Отсюда следует, что \(\sin(x) = \pm 1\).

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \(\sin(x) = 1\): это соответствует углу \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число. 2. \(\sin(x) = -1\): это соответствует углу \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь у нас есть оба решения системы уравнений.