Question

Найдите ту первообразную для заданной функции y=f(x), график которой касается заданной прямой y=kx+m f(x)=2x y=x+2 Подробное решение, пожалуйста!

Answer 1

Общий вид первообразной F(х) =2x²/2+C=x²+C
Eё график касается прямой,значит
х² + С=х+2
х²+С-х-2=0
х² -х+(С-2)=0
D=1-4(C-2)=1-4C+8=9-4C
Графики касаются, значит, уравнение имеет один корень
D = 0⇒9-4C=0⇒C=9/4
 F(х) =х² + 9/4

Answer 2

Конечно, давайте решим эту задачу. Нам нужно найти первообразную для функции \( f(x) \), график которой касается прямой \( y = kx + m \), где \( k = 1 \) и \( m = 2 \).

1. Сначала найдем производную функции \( f(x) \), так как уравнение касательной указывает на связь между функцией и ее производной.

2. Затем используем полученную производную для нахождения самой функции \( f(x) \).

3. После этого найдем первообразную функции \( f(x) \).

Шаг 1: Найдем производную функции \( f(x) \).

Уравнение касательной \( y = kx + m \) дает нам уравнение для производной:

\[ f'(x) = k \]

В данном случае \( k = 1 \), поэтому \( f'(x) = 1 \).

Шаг 2: Найдем функцию \( f(x) \).

Интегрируем производную:

\[ \int f'(x) \,dx = \int 1 \,dx = x + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Шаг 3: Найдем первообразную функции \( f(x) \).

Так как \( f(x) = x + C \), где \( C \) - произвольная постоянная, то первообразная будет:

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^2 + Cx + D \]

где \( D \) - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) равна:

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^2 + Cx + D \]

Теперь мы можем использовать условие касания графика функции и прямой, чтобы найти конкретные значения для \( C \) и \( D \).

Уравнение касательной \( y = kx + m \) равно \( y = x + 2 \), поэтому мы можем приравнять первообразную и уравнение касательной:

\[ \frac{1}{2}x^2 + Cx + D = x + 2 \]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \), мы получаем систему уравнений:

\[ \frac{1}{2} = 1 \] \[ C = 1 \] \[ D = 2 \]

Таким образом, конкретная первообразная функции \( f(x) \) равна:

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + 2 \]