Question

Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Answer 1

А) да, например 512, 576, 648, 729
б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида
a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4.
Т.к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740).
С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т.е. p = 3, 4, 5.

Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую прогрессию, где все члены являются различными натуральными числами и заключены между 510 и 740.

Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а знаменатель (отношение любого члена к предыдущему) равен \(q\). Тогда общий вид члена прогрессии можно записать как:

\[a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\]

Также известно, что все члены прогрессии находятся между 510 и 740. Это можно выразить следующим образом:

\[510 < a < 740\]

Теперь рассмотрим вопросы:

а) Может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

Если прогрессия состоит из четырех членов, то последний член будет \(ar^3\). Таким образом, условие будет:

\[510 < ar^3 < 740\]

Для различных натуральных чисел \(a\) и \(r\) нужно найти такие значения, которые удовлетворяют этому неравенству. Это может быть возможно, но нужно провести дополнительные расчеты для конкретных значений \(a\) и \(r\).

б) Может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Аналогично, если прогрессия состоит из пяти членов, то последний член будет \(ar^4\), и условие будет:

\[510 < ar^4 < 740\]

Также, как и в предыдущем случае, нужно провести дополнительные расчеты для конкретных значений \(a\) и \(r\) и проверить, существуют ли такие значения, которые удовлетворяют этому неравенству.

Общий подход к решению этих задач включает анализ неравенств и поиск соответствующих значений для \(a\) и \(r\).