Question

(2^2-x)-(2^2+x) ≥15 Найти интервал

Answer 1

4/2^x-4*2^x-15≥0
(4-4*2^2x-15*2^x)/2^x≥0
2^x>0 при любом х⇒
4-4*2^2x-15*2^x≥0
2^x=a
4a²+15a-4≤0
D=225+64=289
a1=(-15-17)/8=-4
a2=(-15+17)/8=1/4
-4≤a≤1/4
-4≤2^x≤1/4
x≤-2
x∈(-∞;-2]

Answer 2

Давайте решим неравенство подробно:

\[ (2^{2-x}) - (2^{2+x}) \geq 15 \]

1. Раскроем степени двойки:

\[ (4 \cdot 2^{-x}) - (4 \cdot 2^{x}) \geq 15 \]

2. Упростим выражение, умножив обе части на \(2^x\), чтобы избавиться от знаменателя в первом члене:

\[ 4 - 4 \cdot 2^{2x} \geq 15 \cdot 2^x \]

3. Перенесем все члены на одну сторону:

\[ 4 - 15 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^{2x} \geq 0 \]

4. Факторизуем:

\[ (2^x - 4)(2^x + 1) \geq 0 \]

5. Найдем значения \(x\), при которых левая сторона неравенства равна нулю:

\[ 2^x - 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \]

\[ 2^x + 1 = 0 \] - эта часть неравенства не имеет решений для вещественных \(x\), так как \(2^x\) всегда положительно, и прибавление 1 не изменит знака.

Таким образом, у нас есть один критический момент при \(x = 2\). Теперь мы можем проверить интервалы между критическими точками:

- Когда \(x < 2\), \(2^x - 4 < 0\) и \(2^x + 1 > 0\), следовательно, произведение отрицательное. - Когда \(x > 2\), \(2^x - 4 > 0\) и \(2^x + 1 > 0\), следовательно, произведение положительное.

Таким образом, решением неравенства является интервал \((-\infty, 2] \cup (2, +\infty)\).