Question

Найдите P(1), если для многочлена Р(х) выполняется Р(х) - Р(х+1) = x^{2} - х + 1 и Р(1)+Р(4) = 3

Answer 1

$P(x)-P(x+1)=x^2-x+1\\ P(1)+P(4)=3\\\\ P(1)-P(2)=1\\ P(2)-P(3)=3\\ P(3)-P(4)=7$
сложим три выражения , получим 
 $P(1)-P(4)=8\\ P(1)+P(4)=3\\\\ 2P(1)=11\\ P(1)=5.5$  
 Ответ $5.5$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти значение многочлена P(1) при заданных условиях. Для этого, давайте рассмотрим данные уравнения по отдельности.

Уравнение 1: P(x) - P(x+1) = x^2 - x + 1 Уравнение 2: P(1) + P(4) = 3

Для начала, давайте заменим переменную x на (x-1) в уравнении 1, чтобы получить уравнение, которое будет проще решить. Замена переменной позволяет нам избавиться от отрицательных степеней x и упростить выражение.

Замена: x = (x-1)

Уравнение 1 (после замены): P(x-1) - P(x) = (x-1)^2 - (x-1) + 1

Выполняя раскрытие скобок и упрощение, получим:

P(x-1) - P(x) = x^2 - 3x + 3

Теперь у нас есть два уравнения:

Уравнение 1 (после замены): P(x-1) - P(x) = x^2 - 3x + 3 Уравнение 2: P(1) + P(4) = 3

Давайте решим эти уравнения по очереди.

Решение уравнения 1:

Так как у нас есть разность многочленов P(x-1) и P(x), мы можем применить метод разделения переменных. Чтобы это сделать, мы можем переместить P(x) на одну сторону уравнения и P(x-1) на другую:

P(x-1) = P(x) + x^2 - 3x + 3

Теперь мы можем заменить x на (x-1) в уравнении выше:

P((x-1)-1) = P(x-1) + (x-1)^2 - 3(x-1) + 3

Упрощая это выражение, получим:

P(x-2) = P(x-1) + x^2 - 5x + 7

Теперь у нас есть два уравнения:

Уравнение 1: P(x-1) = P(x) + x^2 - 3x + 3 Уравнение 3: P(x-2) = P(x-1) + x^2 - 5x + 7

Решение уравнения 2:

Уравнение 2: P(1) + P(4) = 3

Мы можем заменить P(4) на P(1) + 3 в уравнении 3:

P(1) + P(1) + 3 = 3

2P(1) + 3 = 3

2P(1) = 0

P(1) = 0/2

P(1) = 0

Ответ:

Значение многочлена P(1) равно 0.