Question

Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой -1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку (0;-2)

Answer 1

Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой  x₀=-1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку M(0;-2).
------------
f(x) =0,25(x²+6x+1) ; x₀ =-1. * * *f(x) =0,25(x²+6x+9 -8) = -2+0,25(x+3)²  * * *
---
Уравнение касательной к графику функции в точке  с абсциссой x₀
имеет вид :
y =f(x₀) + f '(x₀)*(x - x₀) ;
f(x₀) =0,25(x₀²+6x₀+1)   =     0,25( (-1)² +6*(-1) +1 ) =  -1
f '(x) = (0,25(x²+6x+1) ) ' = 0,25(2x+6) =0,5(x+3).
f '(x₀) = 0,5(x₀+3)  =              0,5( -1+3) = 1 .
y = - 1+1(x -(-1))  ⇔ y = x.
* * *    y =0,25(x₀²+6x₀+1) + 0,5(x₀+3) (x - x₀)   * * *
* * * одна сторона треугольника лежит на прямой  y  = x  * * *
Составим уравнения  других касательных , они  проходят  через точку M (0 ; -2)_она одна из вершин треугольника) :  y= kx - 2  
* * * . y-(-2) =k*(x  - 0) * * *
kx -2 = 0,25(x²+6x+1) ⇔4kx-8 =x²+6x+1 ⇔x²-2(k-3)x+9=0 .
D/4 =(k-3)²- 9 = 0⇒ [ k =3 ; k=0 , т.е. y =3x - 2  и  y = - 2.
* * * y=- 2 проходит через вершину G(-3 ; -2) параболы y = -2 + 0,25(x+3)²
(точка минимума , где производная  f '(x₁)= 0 * * * 
Определили_стороны  лежать на прямые  y =x  ;  y = 3x  - 2  и  y = - 2.
* * *  k =1; k =3 ; k =0 ⇒ линии не параллельны ,  они   пересекаются и определяют вершины треугольника   * * *
A(1 ;1) ; B(-2 ;-2) ; C(0 ;-2) .
Площадь можно определить разными способами , но здесь просто
BС | | OX  ⇒ S =(1/2)* |BC| *h =(1/2)*2*3  = 3.         

ответ:  3.   
----------------------       
уравнения касательных можно было получить по другому :  
y = 0,25(x₁²+6x₁+1) + 0,5(x₁+3) (x  -x₁) ;    k =0,5(x₁+3)
эта касательные проходит через точку  M(0,-2) , поэтому :
- 2 = 0,25(x₁²+6x₁+1) +0,5(x₁+3)(0 -x₁) ;
- 8 = x₁² + 6x₁+1  - 2x₁² - 6x₁ ;
x₁² -9 =0 ⇒ [ x₁=3 , x₁=-3 ; ⇒ соответственно    [ k₁ =3 ;  k₁ =0 .

--------
               |x₁-x₂   y₁-y₂ |      
S = (1/2) |                    | 
               |x₂ -x₃  y₂- y₃|

Answer 2

Для того чтобы найти площадь треугольника, мы сначала должны определить длины его сторон. В данном случае, у нас есть три стороны треугольника: одна сторона лежит на касательной к графику функции, а две стороны проходят через точку (0,-2) и также являются касательными к графику функции.

Определение длины первой стороны

Первая сторона треугольника лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой -1. Для определения длины этой стороны, нам нужно найти значение функции в данной точке.

Для этого, подставим значение x = -1 в уравнение функции: f(-1) = 0.25((-1)^2+6(-1)+1)

Далее, решим это уравнение: f(-1) = 0.25(1-6+1) f(-1) = 0.25(-4) f(-1) = -1

Таким образом, длина первой стороны треугольника равна -1.

Определение длины второй и третьей стороны

Вторая и третья стороны треугольника проходят через точку (0,-2) и являются касательными к графику функции 0.25(x^2+6x+1). Для определения их длины, нам также нужно найти значения функции в этих точках.

Для определения длины второй стороны, подставим значение x = 0 в уравнение функции: f(0) = 0.25((0)^2+6(0)+1)

Решим это уравнение: f(0) = 0.25(0+0+1) f(0) = 0.25

Таким образом, длина второй стороны треугольника равна 0.25.

Для определения длины третьей стороны, подставим значение x = 0 в уравнение функции: f(0) = 0.25((0)^2+6(0)+1)

Решим это уравнение: f(0) = 0.25(0+0+1) f(0) = 0.25

Таким образом, длина третьей стороны треугольника также равна 0.25.

Нахождение площади треугольника

Теперь, когда у нас есть длины всех трех сторон треугольника, мы можем найти его площадь. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, длины сторон треугольника равны: a = -1, b = 0.25, c = 0.25.

Чтобы найти полупериметр треугольника, мы можем использовать формулу: p = (a + b + c) / 2

Подставим значения сторон в формулу: p = (-1 + 0.25 + 0.25) / 2 p = -0.5 / 2 p = -0.25

Теперь, подставим значения полупериметра и длин сторон в формулу Герона: S = sqrt((-0.25) * ((-0.25) - (-1)) * ((-0.25) - 0.25) * ((-0.25) - 0.25))

Решим эту формулу: S = sqrt((-0.25) * (0.75) * (0) * (-0.5)) S = sqrt(0)

В данном случае, площадь треугольника равна 0, так как одна из сторон имеет нулевую длину.