Question

В сберегательном банке вкладчику начисляется 20% за год от сданной на хранение суммы. Через сколько лет первоначальная сумма увеличиться более чем в 2 раза; в 5 раз?

Answer 1

Пусть S - первоначальная сумма. Через n лет на счёте вкладчика будет сумма Sn=S*(1+0,2*n).

1) Из условия Sn>2*S следует неравенство S*(1+0,2*n)>2*S, или 1+0,2*n>2. Отсюда 0,2*n>1 и n>1/0,2=5 лет. 

2) Из условия Sn=5*S следует уравнение S*(1+0,2*n)=5*S, или 1+0,2*n=5. Отсюда 0,2*n=4 и n=4/0,2=20 лет.

Ответ: 1) более чем через 5 лет, 2) через 20 лет.

Answer 2

Расчет увеличения суммы вклада в Сберегательном банке

Для расчета увеличения суммы вклада в Сберегательном банке, где вкладчику начисляется 20% за год от сданной на хранение суммы, мы можем использовать формулу сложных процентов.

Пусть P - первоначальная сумма вклада, r - годовая процентная ставка (в данном случае 20% или 0.2), t - количество лет, и A - итоговая сумма вклада.

Формула для расчета итоговой суммы вклада: A = P * (1 + r)^t

Увеличение суммы вклада более чем в 2 раза

Чтобы узнать, через сколько лет первоначальная сумма вклада увеличится более чем в 2 раза, мы можем использовать следующую формулу:

P * (1 + r)^t > 2P

Упрощая выражение, получаем:

(1 + r)^t > 2

Теперь мы можем решить это неравенство, чтобы найти значение t.

Увеличение суммы вклада в 2 раза

Аналогично, чтобы узнать, через сколько лет первоначальная сумма вклада увеличится в 5 раз, мы можем использовать следующую формулу:

P * (1 + r)^t > 5P

Упрощая выражение, получаем:

(1 + r)^t > 5

Теперь мы можем решить это неравенство, чтобы найти значение t.

Решение неравенств

Для решения неравенств, связанных с экспонентами, мы можем использовать логарифмы. В данном случае, чтобы решить неравенство (1 + r)^t > 2, мы можем применить натуральный логарифм к обеим частям неравенства:

ln((1 + r)^t) > ln(2)

Используя свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a), мы можем переписать это выражение как:

t * ln(1 + r) > ln(2)

Теперь мы можем решить это неравенство, чтобы найти значение t.

Аналогично, для решения неравенства (1 + r)^t > 5, мы можем применить натуральный логарифм к обеим частям неравенства:

ln((1 + r)^t) > ln(5)

Используя свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a), мы можем переписать это выражение как:

t * ln(1 + r) > ln(5)

Теперь мы можем решить это неравенство, чтобы найти значение t.

Результаты итоговых расчетов

Чтобы получить конкретные значения для t, необходимо знать точное значение годовой процентной ставки r. В данном случае, мы знаем, что r равно 20% или 0.2.

Увеличение суммы вклада более чем в 2 раза: - Для r = 0.2, значение t будет больше 3 года.

Увеличение суммы вклада в 5 раз: - Для r = 0.2, значение t будет больше 5 лет.

Обратите внимание, что эти значения являются минимальными значениями, и сумма вклада может увеличиваться более чем в 2 или 5 раз в зависимости от точного значения годовой процентной ставки и количества лет.