Question

Ctgx-ctg2x=1/sin2x доказать

Answer 1

$ctgx-ctg2x= \frac{cosx}{sinx} - \frac{cos2x}{sin2x} = \frac{sin2x\cdot cosx-cos2x\cdot sinx}{sinx\cdot sin2x} =\\\\= \frac{sin(2x-x)}{sinx\cdot sin2x} = \frac{sinx}{sinx\cdot sin2x} = \frac{1}{sin2x}$

Answer 2

Для доказательства тождества \( \cot(x) - \cot(2x) = \frac{1}{\sin(2x)} \), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части уравнения:

\[ \cot(x) - \cot(2x) \]

Используем тождество котангенса:

\[ \cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ \cot(x) - \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} \]

Общий знаменатель для вычитания:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\sin(x)\cos(x)} \]

Теперь объединим дроби:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x) - (\cos^2(x) - \sin^2(x))}{2\sin(x)\cos(x)} \]

Упростим числитель:

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x) \]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) - \cos^2(x) + (1 - \cos^2(x)) \]

Упростим:

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) + 1 - \cos^2(x) - \cos^2(x) \]

Еще раз воспользуемся тождеством котангенса:

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) + 1 - \cos^2(x) - \cos^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) + 1 - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \]

Общий знаменатель для сложения:

\[ \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} \]

Упростим:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\sin^2(x) + \sin^2(x) - \cos^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \]

Теперь воспользуемся тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \):

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\sin^2(x) + \sin^2(x) - (1 - \sin^2(x)) - (1 - \sin^2(x))}{\sin^2(x)} \]

Упростим:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\sin^2(x) + \sin^2(x) - 1 + \sin^2(x) - 1 + \sin^2(x)}{\sin^2(x)} \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} \]

Теперь рассмотрим выражение \(2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\):

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cot(x) = 2\sin(x)\cos(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 2\cos^2(x) \]

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

\[ \frac{2\sin(x)\cos(x)\cot(x)\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} = \frac{2\cos^2(x)\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} \]

Теперь воспользуемся тождеством \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \):

\[ \frac{2\cos^2(x)\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} = \frac{2(1 - \sin^2(x))\sin^2(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{2\sin^2(x) - 2\sin^4(x) + 3\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} \]

Упростим:

\[ \frac{-2\sin^4(x) + 5\sin^2(x) - 2}{\sin^2(x)} \]

Теперь воспользуемся тем, что \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \):

\[ \frac{-2(1 - \cos^2(x))^2 + 5(1 - \cos^2(x)) - 2}{1 - \cos^2(x)} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \frac{-2(1 - 2\cos^2(x) + \cos^4(x)) + 5 - 5\cos^2(x) - 2}{1 - \cos^2(x)} \]

\[ \frac{-2 + 4\cos^2(x) - 2\cos^4(x) + 5 - 5\cos^2(x) - 2}{1 - \cos^2(x)} \]

\[ \frac{-2\cos^4(x) + 3\cos^2(x) + 3}{1 - \cos^2(x)} \]

Теперь воспользуемся тем, что \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \):

\[ \frac{-2(1 - \sin^2(x))^2 + 3(1 - \sin^2(x)) + 3}{1 - (1 - \sin^2(x))} \]

Раскроем скобки