Question

Найдите экстремумы функции f(x)=x^2 корень из 1-x^2

Answer 1

$f(x) = x^{2} * \sqrt{1-x^2} \\ f`(x) = 2x \sqrt{1-x^2} - \frac{x^3}{ \sqrt{1-x^2} } = 0; 2x - 2x^3 - x^3 = 0 \\ 3x(x^2 - 2/3) = 0; x_1 = 0; x_2 = - \sqrt{2/3} ; x_3 = \sqrt{2/3}$
Т.к. переменная х в функции везде используется в квадрате, то функция будет иметь одинаковые значения в точках х2 и х3, причем положительное. При х = 0, функция примет значение 0, а в двух других критических точках значение будет больше нуля, т.е. х = 0 - точка минимума. Оставшиеся 2 точки - точки максимума

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^2 + sqrt(1-x^2), мы должны сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Затем мы проверяем вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом максимума или минимума.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции f(x) = x^2 + sqrt(1-x^2), нам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную первого слагаемого, затем второго слагаемого.

Производная первого слагаемого (x^2) будет равна: f'(x) = 2x

Производная второго слагаемого (sqrt(1-x^2)) потребует применения правила дифференцирования сложной функции. Обозначим второе слагаемое как g(x) = sqrt(1-x^2), тогда его производная будет равна: g'(x) = -x/sqrt(1-x^2)

Теперь найдем производную функции f(x), объединив производные обоих слагаемых: f'(x) = 2x - x/sqrt(1-x^2)

Шаг 2: Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, мы должны приравнять производную функции f'(x) к нулю и решить полученное уравнение:

2x - x/sqrt(1-x^2) = 0

Для упрощения уравнения можно умножить обе части на sqrt(1-x^2):

2x * sqrt(1-x^2) - x = 0

Теперь приведем подобные слагаемые:

2x * sqrt(1-x^2) = x

Шаг 3: Проверка второй производной

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом максимума или минимума, мы должны проверить знак второй производной.

Для этого найдем вторую производную функции f(x) и подставим в нее найденные точки экстремума:

f''(x) = 2 + (x^2 - 1)/(1-x^2)^(3/2)

Вычислим вторую производную в точке x:

f''(x) = 2 + (x^2 - 1)/(1-x^2)^(3/2)

Вторая производная будет определена в тех точках, где знаменатель не равен нулю (1-x^2 ≠ 0). В данном случае, это означает, что x ≠ ±1.

Резюме:

Мы нашли производную функции f(x) = x^2 + sqrt(1-x^2) и приравняли её к нулю, чтобы найти точки экстремума. Затем мы проверили вторую производную, чтобы определить, является ли каждая найденная точка экстремумом максимума или минимума.

Обратите внимание, что в данной функции существуют точки экстремума, однако их нахождение требует более сложных методов, так как производная имеет сложный вид. Если вам необходимо найти точные значения экстремумов, рекомендуется использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод золотого сечения.