Question

Сократите дробь: 1)7a^3 b^3(a-b)/21a^2 b^2(a+b) 2) 3n^2-3m2/6m^3+6n^3

Answer 1

$\frac{7a ^{3} b ^{3}(a-b) }{21 a^{2} b^{2}(a+b) } = \frac{ab(a-b)}{3(a+b)} \\\\ \frac{3 n^{2}-3 m^{2} }{6 m^{3} +6 n^{3} } = \frac{3(n-m)(n+m)}{6(m+n)(m ^{2}-mn+ n^{2}) } = \frac{n-m}{2( m^{2}-mn+ n^{2}) }$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из дробей по отдельности и упростим их:

1. Дробь \( \frac{7a^3 + b^3(a-b)}{21a^2 + b^2(a+b) + 2} \):

Факторизируем числитель и знаменатель:

Числитель: \( 7a^3 + b^3(a-b) \)

Знаменатель: \( 21a^2 + b^2(a+b) + 2 \)

Теперь упростим:

\( 7a^3 + b^3(a-b) = a^3(7 + b^2) - ab^3 \)

\( 21a^2 + b^2(a+b) + 2 = a^2(21 + b^2) + b^2(a+b) + 2 \)

Теперь подставим это в исходную дробь:

\( \frac{a^3(7 + b^2) - ab^3}{a^2(21 + b^2) + b^2(a+b) + 2} \)

Теперь давайте вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:

\( \frac{a^3(7 + b^2) - ab^3}{a^2(21 + b^2) + b^2(a+b) + 2} = \frac{a^2(a(7 + b^2) - b^3)}{a^2(21 + b^2) + b^2(a+b) + 2} \)

Заметим, что \( a^2 \) является общим множителем в числителе и знаменателе, и его можно сократить:

\( \frac{a(7 + b^2) - b^3}{21 + b^2 + \frac{b^2(a+b)}{a^2} + \frac{2}{a^2}} \)

2. Дробь \( \frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3} \):

Здесь числитель является разностью квадратов, и мы можем его факторизовать:

\( 3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n + m)(n - m) \)

Знаменатель — сумма кубов, и мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

\( 6m^3 + 6n^3 = 6(m + n)(m^2 - mn + n^2) \)

Теперь подставим это в исходную дробь:

\( \frac{3(n + m)(n - m)}{6(m + n)(m^2 - mn + n^2)} \)

Также, заметим, что \( 3 \) — общий множитель в числителе и знаменателе, и его можно сократить:

\( \frac{(n + m)(n - m)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} \)

Таким образом, упрощенные дроби:

1. \( \frac{a(7 + b^2) - b^3}{21 + b^2 + \frac{b^2(a+b)}{a^2} + \frac{2}{a^2}} \)

2. \( \frac{(n + m)(n - m)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} \)