Question

F(x)=3x^6-2x^4, f'(x)=0

Answer 1

$f'(x)=(3x^6)'-(2x^4)'=18x^5-8x^3 \\ 18x^5-8x^3=0 \\ 2x^3(9x^2-4)=0 \\ x_1=0 \\ 9x^2-4=0 \\ x=\pm \frac{2}{3}$

Answer 2

Для начала давайте разберемся с тем, что означает функция F(x) и ее производная f'(x).

Функция F(x) = 3x^6 - 2x^4 является полиномиальной функцией шестой степени. Она содержит два слагаемых: первое слагаемое 3x^6 и второе слагаемое -2x^4. Здесь x представляет собой переменную, а ^ обозначает возведение в степень.

Чтобы найти производную функции F(x), мы используем правила дифференцирования. Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции по отношению к ее аргументу (в данном случае x).

Найдем производную функции F(x): f'(x) = d/dx (3x^6 - 2x^4)

Для дифференцирования полиномов мы применяем правило степенной функции. По этому правилу, производная слагаемого x^n равна n*x^(n-1), где n - степень, а x - переменная.

Применяя это правило к каждому слагаемому в функции F(x), мы получаем: f'(x) = 6*3x^5 - 4*2x^3

Упростим это выражение: f'(x) = 18x^5 - 8x^3

Теперь нам нужно найти точки, где производная функции равна нулю, то есть решить уравнение f'(x) = 0.

18x^5 - 8x^3 = 0

Мы можем вынести общий множитель x^3: x^3(18x^2 - 8) = 0

Таким образом, мы имеем два возможных значения для x: x^3 = 0 => x = 0

18x^2 - 8 = 0

Теперь решим это уравнение относительно x^2: 18x^2 = 8 => x^2 = 8/18 => x^2 = 4/9

Извлекая квадратный корень, получаем: x = ±√(4/9) => x = ±2/3

Таким образом, у нас есть три значения x, где производная функции равна нулю: x = 0, x = 2/3 и x = -2/3.

Эти значения являются критическими точками функции F(x), где график функции может изменить свое направление от возрастания к убыванию или наоборот. Если вы хотите получить больше информации о поведении функции F(x), мне потребуется больше данных, таких как значения функции в конкретных точках или диапазон значений x, в котором вы интересуетесь.