Question

X(в квадрате) - 4ху + 3у(в квадрате) = 3 задание: решить в целых числах

Answer 1

$x^2- 4xy + 3y^2 = 3, \\ x^2-4xy+4y^2-y^2=3, \\ (x-2y)^2-y^2=3, \\ (x-3y)(x-y)=3, \\ 3=1\cdot3, 3=-3\cdot(-1), \\ \left \{ {{x-3y=1,} \atop {x-y=3;}} \right. \left \{ {{-2y=-2,} \atop {x=y+3;}} \right. \left \{ {{y=1,} \atop {x=4;}} \right. \\ \\ \left \{ {{x-3y=3,} \atop {x-y=1;}} \right. \left \{ {{-2y=2,} \atop {x=y+1;}} \right. \left \{ {{y=-1,} \atop {x=0;}} \right.$

$\left \{ {{x-3y=-3,} \atop {x-y=-1;}} \right. \left \{ {{-2y=-2,} \atop {x=y-1;}} \right. \left \{ {{y=1,} \atop {x=0;}} \right. \\ \\ \left \{ {{x-3y=-1,} \atop {x-y=-3;}} \right. \left \{ {{-2y=2,} \atop {x=y-3;}} \right. \left \{ {{y=-1,} \atop {x=-4;}} \right.$
(4;1), (-4;-1), (0;1), (0;-1).

Answer 2

Давайте решим данное уравнение в целых числах. У вас есть уравнение:

\[x^2 - 4xy + 3y^2 = 3\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод подстановки или факторизации, если это возможно.

Сначала перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена:

\[x^2 - 4xy + 3y^2 - 3 = 0\]

Это уравнение представляет собой квадратный трехчлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = -4y\), \(c = 3y^2 - 3\).

Мы можем найти корни этого уравнения, рассматривая его как квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Для этого применим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3y^2 - 3)\]

\[D = 16y^2 - 4(3y^2 - 3)\]

\[D = 16y^2 - 12y^2 + 12\]

\[D = 4y^2 + 12\]

Теперь, чтобы уравнение имело целочисленные корни, дискриминант должен быть квадратом целого числа, то есть \(4y^2 + 12 = m^2\) для некоторого целого числа \(m\).

Однако, если рассматривать уравнение \(4y^2 + 12 = m^2\) исключительно в целых числах, оно не имеет решений, так как нет целых чисел \(y\), для которых \(4y^2 + 12\) является квадратом другого целого числа \(m\).

Следовательно, в заданном уравнении в целых числах нет решений.