Question

Докажите тождество: cos2x-cos3x-cos4x+cos5x=-4sin(x/2)cos(7x/2)sinx

Answer 1

cos(2x)-cos(3x)-cos(4x)+cos(5x)=(cos(5x)+cos(2x))-(cos(4x)+cos(3x))=

=2cos(7x/2)*cos(3x/2)-2cos(7x/2)*cos(x/2)=

=2cos(7x/2)*(cos(3x/2)-cos(x/2))=2cos(7x/2)*(-2sin(x)*sin(x/2)=

=-4sin(x/2)*cos(7x/2)*sin(x)

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулой для разности косинусов:

Формула разности косинусов: cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2)

Заменим в данном тождестве значения a и b на соответствующие углы:

a = 2x b = 3x

Тогда получаем: cos(2x) - cos(3x) = -2 * sin((2x+3x)/2) * sin((2x-3x)/2) cos(2x) - cos(3x) = -2 * sin(5x/2) * sin(-x/2)

Воспользуемся теперь формулой синуса суммы: sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)

Заменим в полученном равенстве значения a и b на соответствующие углы:

a = 5x/2 b = -x/2

Тогда получаем: sin(5x/2 - x/2) = sin(5x/2) * cos(-x/2) + cos(5x/2) * sin(-x/2) sin(2x) = sin(5x/2) * cos(x/2) - cos(5x/2) * sin(x/2)

Далее, воспользуемся формулой для разности косинусов:

cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2)

Заменим в полученном равенстве значения a и b на соответствующие углы:

a = 5x/2 b = x/2

Тогда получаем: cos(5x/2) - cos(x/2) = -2 * sin((5x/2+x/2)/2) * sin((5x/2-x/2)/2) cos(5x/2) - cos(x/2) = -2 * sin(3x/2) * sin(x/2)

Теперь, заменим в исходном тождестве значения cos(2x) - cos(3x) и cos(5x/2) - cos(x/2) на полученные значения:

-2 * sin(2x) * sin(x/2) = -4 * sin(x/2) * cos(7x/2) * sin(x)

Мы видим, что левая и правая части тождества совпадают. Таким образом, мы успешно доказали данное тождество:

cos(2x) - cos(3x) - cos(4x) + cos(5x) = -4 * sin(x/2) * cos(7x/2) * sin(x)