Question

В прямоугольнике mnkp на сторонах nk и mp отмечены точки e и f так, что NE:EK = 3:4, MF:FP = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении.
Пусть t и p - соответствующие коэффициенты пропорциональности, и MN=KP=c.
Т.к. NK||MP, то MNEF и FEKP - прямоугольные трапеции, высота которых равна с.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Поэтому $S_{MNEF} = \dfrac{3t+2p}{2}*c$, $S_{FEKP} = \dfrac{4t+3p}{2}*c$
$S_{MNEF} : S_{FEKP} = (\dfrac{3t+2p}{2}*c):(\dfrac{4t+3p}{2}*c)=\dfrac{3t+2p}{4t+3p}$
Т.к. NK = MP, то 3t+4t=2p+3p, т.е. 7t = 5p. Отсюда р=1,4t. Подставим в дробь:
$S_{MNEF} : S_{FEKP} = \dfrac{3t+2p}{4t+3p}=\dfrac{3t+2*1,4t}{4t+3*1,4t}=\dfrac{5,8t}{8,2t}=\dfrac{29}{41}$
Ответ: 29:41.

Answer 2

Для решения задачи найдем отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF. Для начала обозначим длины отрезков, соединяющих точки E и F с вершинами прямоугольника.

Пусть NE = 3x, EK = 4x, MF = 2y, и FP = 3y.

Теперь рассмотрим площади четырехугольников MNEF и PKEF.

Площадь MNEF = Площадь треугольника MNE + Площадь треугольника NEF

Площадь PKEF = Площадь треугольника PKE + Площадь треугольника KEF

Так как треугольники MNE и PKE имеют общую сторону ME, и треугольники NEF и KEF имеют общую сторону EF, площади этих треугольников можно выразить через длины отрезков NE, EK, MF и FP.

Площадь треугольника MNE = (1/2) * NE * ME Площадь треугольника NEF = (1/2) * NE * EF Площадь треугольника PKE = (1/2) * EK * KP Площадь треугольника KEF = (1/2) * EF * EK

Теперь выразим длины ME и KP через длины отрезков NE, EK, MF и FP.

ME = MF + FP KP = NK + NE

Теперь можем выразить площади треугольников через данные отрезки:

Площадь треугольника MNE = (1/2) * NE * (MF + FP) Площадь треугольника NEF = (1/2) * NE * EF Площадь треугольника PKE = (1/2) * EK * (NK + NE) Площадь треугольника KEF = (1/2) * EF * EK

Теперь сложим площади треугольников, чтобы найти общую площадь четырехугольника:

Площадь MNEF = (1/2) * NE * (MF + FP) + (1/2) * NE * EF Площадь PKEF = (1/2) * EK * (NK + NE) + (1/2) * EF * EK

Теперь найдем отношение площадей:

Отношение площадей MNEF и PKEF = Площадь MNEF / Площадь PKEF

Подставим выражения для площадей:

Отношение площадей MNEF и PKEF = [(1/2) * NE * (MF + FP) + (1/2) * NE * EF] / [(1/2) * EK * (NK + NE) + (1/2) * EF * EK]

Теперь подставим значения NE = 3x, EK = 4x, MF = 2y, и FP = 3y:

Отношение площадей MNEF и PKEF = [(1/2) * 3x * (2y + 3y) + (1/2) * 3x * EF] / [(1/2) * 4x * (NK + 3x) + (1/2) * EF * 4x]

Сократим выражение:

Отношение площадей MNEF и PKEF = [(3/2) * x * 5y + (1/2) * 3x * EF] / [2x * (NK + 3x) + (1/2) * EF * 4x]

Таким образом, найдено отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.