Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=arcsin(x), y=П/4, y=-П/4, x=0. решать через интеграл

Answer 1

Прикрепляю решение :)

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем использовать интеграл.

Сначала построим график функции y = arcsin(x), чтобы понять, как эта функция выглядит на плоскости.

Функция arcsin(x) определена на интервале [-1, 1] и имеет ограничения по y в интервале [-П/2, П/2].

График функции y = arcsin(x) будет выглядеть как часть синусоиды, лежащая в первом и втором квадрантах, с вершиной в точке (0, 0) и ограниченная по оси y значениями [-П/2, П/2].

Теперь нарисуем графики линий y = П/4 и y = -П/4, чтобы понять, как они пересекаются с графиком функции y = arcsin(x).

Линия y = П/4 будет горизонтальной прямой, проходящей через точку (0, П/4).

Линия y = -П/4 будет горизонтальной прямой, проходящей через точку (0, -П/4).

Теперь мы видим, что фигура, ограниченная графиками функции y = arcsin(x), y = П/4, y = -П/4 и прямой x = 0, представляет собой треугольник.

Чтобы найти площадь этого треугольника, мы можем использовать интеграл.

Интеграл площади фигуры можно записать в виде:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - границы по оси x, f(x) - верхняя функция (в данном случае y = П/4), g(x) - нижняя функция (в данном случае y = arcsin(x)).

Так как фигура ограничена по оси x значениями [-1, 1], то a = -1 и b = 1.

Таким образом, площадь фигуры равна:

S = ∫[-1, 1] (П/4 - arcsin(x)) dx.

Теперь можем вычислить этот интеграл:

S = ∫[-1, 1] (П/4 - arcsin(x)) dx = [П/4x - xarcsin(x) + ∫[a, b] x/sqrt(1 - x^2) dx],

где ∫[a, b] x/sqrt(1 - x^2) dx - это интеграл, который можно решить с помощью метода интегрирования по частям.

После вычисления этого интеграла, мы получим окончательное значение площади фигуры.