Question

Найдите производную функции y(x)=ctg2x-4^x

Answer 1

                             y'=-2/sin^2(2x)-4^x*ln4

Answer 2

Функция y(x) = ctg(2x) - 4^x задана в терминах тригонометрической функции ctg(2x) и показательной функции 4^x. Чтобы найти производную этой функции, мы будем использовать правила дифференцирования для обоих типов функций по отдельности.

Дифференцирование функции ctg(2x):

Чтобы найти производную функции ctg(2x), мы можем использовать правило дифференцирования для тригонометрических функций. В данном случае, это правило гласит:

d/dx(ctg(u)) = -csc^2(u) * du/dx,

где u = 2x.

Таким образом, для нашей функции y(x) = ctg(2x), производная будет равна:

dy/dx = -csc^2(2x) * d(2x)/dx.

Мы также можем записать csc^2(2x) в терминах синуса:

dy/dx = -1/sin^2(2x) * d(2x)/dx.

Дифференцирование функции 4^x:

Чтобы найти производную функции 4^x, мы можем использовать правило дифференцирования для показательной функции. В данном случае, это правило гласит:

d/dx(a^u) = ln(a) * a^u * du/dx,

где a = 4 и u = x.

Таким образом, для нашей функции y(x) = 4^x, производная будет равна:

dy/dx = ln(4) * 4^x * d(x)/dx.

Нахождение производной итоговой функции:

Теперь, чтобы найти производную функции y(x) = ctg(2x) - 4^x, мы можем сложить производные обоих компонентов:

dy/dx = -1/sin^2(2x) * d(2x)/dx - ln(4) * 4^x * d(x)/dx.

Также, обратите внимание, что d(2x)/dx = 2, так как производная 2x по x равна 2.

Таким образом, итоговая производная функции y(x) = ctg(2x) - 4^x будет:

dy/dx = -2/sin^2(2x) - ln(4) * 4^x.

Пример кода на Python:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = sp.cot(2*x) - 4**x
dy_dx = sp.diff(y, x)

# Вывод производной
print(dy_dx)

Результатом выполнения этого кода будет выведенная производная функции y(x) = ctg(2x) - 4^x.